连续性方程

连续性方程是局域性的守恒定律方程。与全域性的守恒定律相比，这种守恒定律条件更强。本条目内的所有关于连续性方程的范例都表达了同样的思想──在任意区域内某种守恒量总量的改变，等于从边界进入或离去的数量；守恒量不能够增加或减少，只能够从某一个位置迁移到另一个位置。

每一种连续性方程都既可以用积分形式表达（使用通量积分），描述任意有限区域内的守恒量；也可以用微分形式表达（使用散度算符），描述任意位置的守恒量。其微分形式与积分形式通过散度定理相互关联。

概论

微分形式

一般的连续性方程的微分形式为 (∂ φ)/(∂ t)+∇ · f =s；

其中， φ 是某物理量 q 的密度（每单位体积的物理量）， f 是 q 的流量密度（每单位面积每单位时间的物理量）的矢量函数（vector function）， s 是 q 在每单位体积每单位时间的生成量。

假若 s>0 则称 s 为“源点”；假若 s<0 则称 s 为“汇点”。假设 φ 是没有产生或湮灭的守恒量，（例如，电荷），则 s=0，连续性方程变为 (∂ φ)/(∂ t)+∇ · f =0。

从简单的“能量连续性方程”到复杂的纳维-斯托克斯方程，这方程可以用来表示任意连续性方程。该方程也是平流方程（advection equation）的推广。

另一些物理学中的方程也具有类似连续性方程的数学形式，例如电场的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被称为连续性方程，因为 f 并不代表真实物理量的流动。

积分形式

根据散度定理，连续性方程可以写为等价的积分形式： (d Q)/(d t)+∮ _(S)f · d a =S；

其中， S 是包住体积 V 的任意固定（不随时间改变）闭曲面， Q 是在体积 V 内的 q 总量， S=∫ _(V)s d ³r 是在积分体积 V 内源点与汇点的总生成量每单位时间， d a 是微小面矢量积分元素。

举一简例，假设 V 是台北101大楼， Q 是在大楼内某时间的总人数， S 是由门口、墙壁、屋顶、地基等等，共同组成的曲面，则连续性方程表明，当人们进入大楼时（代表穿过曲面的内向通量），或当大楼里面的孕妇生产时（代表源点的 s>0），在大楼里面的总人数会增加；而当人们离开大楼时（代表穿过曲面的外向通量），在大楼里面的总人数会减少。

电磁理论

在电磁理论里，连续性方程可以视为一条经验定律，表达局域电荷守恒，或是从麦克斯韦方程组推导出的结果。“电荷连续性方程”表明，电荷密度 ρ 的变率与电流密度 J 的散度，两者的代数和等于零： (∂ ρ)/(∂ t)+∇ · J =0。

麦克斯韦-安培方程满足局域电荷守恒的连续性方程

麦克斯韦-安培方程为 ∇ × B =μ ₀J +μ ₀ ε ₀(∂ E)/(∂ t)；

其中， B 是磁场， E 是电场， μ ₀ 是磁常数， ε ₀ 是电常数。

取散度于方程的两边，由于旋度的散度必是零， 0=μ ₀∇ · J +μ ₀ε ₀(∂ (∇ · E))/(∂ t)。

高斯定律的方程为 ∇ · E =ρ /ε ₀。

将这方程代入，可以得到 (∂ ρ)/(∂ t)+∇ · J =0。

电流是电荷的流量。连续性方程可以这样论述：假若电荷从某微小体积元素移动出去（电流密度的散度是正值），则在那微小体积元素内的总电荷量会减少，电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉，连续性方程就是电荷守恒。

四维电流

四维电流密度定义为 （公式略）；

其中， α 标记时空坐标， c 是光速。

电荷守恒可以简洁地由四维电流密度的散度表达，即连续性方程 ∂ _(α)J^(α)=0；

其中， （公式略）。

流体力学

在流体力学里，连续性方程表明，在任何稳定态过程中，质量进入物理系统的速率等于离开的速率。此时连续性方程与电路学的基尔霍夫电流定律类似。“质量连续性方程”的微分形式为 (∂ ρ)/(∂ t)+∇ · (ρ u)=0；

其中， ρ 是流体质量密度， u 是流速矢量场，两者相乘后为质量通量。

假设流体是不可压缩流，则密度 ρ 是常数，质量连续性方程简化为体积连续性方程： ∇ · (u)=0。

这意味着，在所有位置，速度场的散度等于零；也就是说，局域的体积变率为零。

在另一方面，纳维-斯托克斯方程是一个矢量连续性方程，描述动量守恒。

能量

根据能量守恒，能量只能够传输，不能够生成或湮灭，这意味着“能量连续性方程”。这是在热力学定律（Laws of thermodynamics）外，能量守恒的另一种数学表述，即， (∂ u)/(∂ t)+∇ · q =0；

其中， u 是能量密度（单位体积的能量）， q 是能量通量矢量（数值大小为单位截面面积每单位时间传输的能量，方向为截面的外法线方向）。

根据傅里叶定律（Fourier's law），对于均匀传导介质， q =-k∇ T；

其中， k 是热导率， T 是温度函数。

能量连续性方程又可写为热传导方程， (∂ u)/(∂ t)-k∇ ²T=0。

量子力学

在量子力学里，从概率守恒可以得到“概率连续性方程”假设一个量子系统的波函数为 Ψ (x,t)，概率流 J 的定义为 （公式略）；

其中， ħ 是约化普朗克常数， m 是质量， Ψ ^(*) 是 Ψ 是共轭复数， Im 是取括弧内项目的虚部。

连续方程与概率守恒定律

概率流满足量子力学的连续方程： (∂ ρ)/(∂ t)+∇ · J =0；

其中， ρ =|Ψ |² 是概率密度。

应用高斯公式，可以等价地以积分方程表示， d/(d t)∫ _(V)|Ψ |²d ³r+∮ _(S)J · d a =0；(1)

其中， V 是任意三维区域， S 是 V 的边界曲面。

方程 (1) 左边第一个体积积分项（不包括对于时间的偏微分）是测量粒子位置时粒子在 V 内的概率。第二个曲面积分是概率流出 V 的通量。总之，方程 (1) 表明，粒子在三维区域 V 内的概率对于时间的微分，与其流出三维区域的概率 V 的通量，两者之和等于零。

连续方程推导

测得粒子在三维区域 V 内的概率 P 是 P=∫ _(V)ρ d ³r =∫ _(V)|Ψ |² d ³r。

概率对于时间的导数是 （公式略）；(2)

注意到 Ψ 的含时薛定谔方程为 （公式略）；

其中， U(r) 是位势。

将含时薛定谔方程代入方程 (2)，可以得到 (d P)/(d t)=-∫ _(V)(ħ)/2mi(Ψ ^(*)∇ ²Ψ -Ψ ∇ ²Ψ ^(*)) d ³r。

应用一则矢量恒等式，可以得到 （公式略）。

这方程右手边第一项与第三项互相抵销，将抵销后的方程代入， (d P)/(d t)=-∫ _(V)∇ · [(ħ)/2mi(Ψ ^(*)∇ Ψ -Ψ ∇ Ψ ^(*))] d ³r。

将概率密度方程与概率流定义式代入， ∫ _(V)(∂ ρ)/(∂ t) d ³r=-∫ _(V)(∇ · J) d ³r。

该等式对于任意三维区域 V 都成立，所以被积项目在任何位置都必须等于零： (∂ ρ)/(∂ t)+∇ · J =0。