abc猜想1985

abc猜想若得证，数论中很多著名猜想可以立时得出。多利安·哥德费尔德称abc猜想为“丢番图分析中最重要的未解问题”。(Goldfeld 1996)

预备知识

给定正整数 n，函数值 rad (n) 表示 n 的相异素因数的积，称为 n 的根基（radical）。严格定义为： （公式略）

例如： rad (16)=rad (2⁴)=2， rad (17)=17， rad (18)=rad (2· 3²)=2· 3=6， rad (1000000)=rad (2⁶· 5⁶)=2· 5=10，

若正整数a, b, c 彼此互素，且a + b=c，“通常”会有c < rad(abc)，例如： (a,b,c)=(2,7,9)： rad (abc)=42>9=c。 (a,b,c)=(9,16,25)： rad (abc)=30>25=c。

但是也有反例，例如： a=3, b=125, c=128：因为 125=5³， 128=2⁷，故此 rad (abc)=30<c。

如上有多于一个整数可被小的素数的高次幂整除，使rad(abc) < c，是较特殊的情况。ABC@Home计划目的在寻找更多这样的例子。

猜想

abc猜想（一）

对于任何 ε >0，只存在有限个互素正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得 c>rad (abc)^(1+ε)

abc猜想也有以下等价的表述方式：

abc猜想（二）

对于任何 ε >0，存在常数 C_(ε)>0，使得对于互素正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，有： c<C_(ε)rad (abc)^(1+ε),

abc猜想第三个表述方式，用到了三元组(a, b, c)的品质（quality），定义为： q(a,b,c)=(log(c))/(log(rad (abc)))

例如：

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互素正整数的三元组，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大于1的情况较少出现。

abc猜想（三）

对于任何 ε >0，只存在有限个互素正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得 q(a,b,c)>1+ε

abc猜想中的ε不能去掉，不然命题就不成立。考虑以下例子： aₙ=3²ⁿ-1, bₙ=1, cₙ=3²ⁿ

这三个正整数互素，且有 aₙ+bₙ=cₙ。注意到 aₙ 可被 2ⁿ⁺² 整除，因此有 （公式略）:

因此 （公式略）

当n趋向无限大时， （公式略） 也趋向无限大。因此不存在常数C，使得 c < C rad(abc)对所有适合条件的三元组都成立。

可得出的结果

如果abc猜想得证，那么有很多结果可以推导出来。其中一些结果，在abc猜想提出后，已经以其他方法得到证明，一些则仍然为猜想。

Thue–Siegel–Roth定理

费马大定理对所有足够大指数的情形（安德鲁·怀尔斯已证一般情形） (Granville 2002)

• Mordell猜想（格尔德·法尔廷斯已证一般情形）(Elkies 1991)
• Erdős–Woods猜想，除了有限多的反例。(Langevin 1993)
• 存在无限多非维费里希素数(Silverman 1988)
• Marshall Hall猜想的弱形式(Nitaj 1996)
• 费马－卡塔兰猜想(Pomerance 2008)

用勒让德符号构成的L函数L(s, χd)没有西格尔零点（需要abc猜想在代数数域上的一致形式，不只在有理整数上。）(Granville 2000)

对有至少3个简单零点的多项式P(x)，在整数x取的所有值中，只有有限个次方数。

Tijdeman定理的推广形式，关于ym = xn + k的解的个数（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，关于Aym = Bxn + k的解的个数。

等价于Granville–Langevin 猜想

等价于修改后的Szpiro猜想(Oesterlé 1988)

布罗卡问题n! + A= k2，对任何给定的整数A，都只有有限个解。(Dąbrowski 1996)

理论结果

abc猜想导出c有abc的根基的接近线性函数的上界；不过，现在已知的是指数上界。确切结果如下： c<exp (K₁rad (abc)¹⁵) (Stewart & Tijdeman 1986), c<exp (K₂rad (abc)^(2/3+ε)) (Stewart & Yu 1991), c<exp (K₃rad (abc)^(1/3+ε)) (Stewart & Yu 2001).

上述的上界中，K1是不依赖a, b, c的常数，而K2和K3是（以可有效计算的方式）依赖于ε的常数，但不依赖于a, b, c。上述的上界对c > 2的三元组都成立。

计算结果

2006年，荷兰的莱顿大学数学系与Kennislink科学研究所合作，开展ABC@Home计划。这个计划是网格计算系统，目的在找出更多的正整数三元组a, b, c使得rad(abc) < c。虽然有无限个例子或反例不能解决abc猜想，但是期望借着这个计划发现的三元组的模式，可以得出对这个猜想以至于数论的新的洞见。

下述的q是上节定义的品质。

截至2014年4月 (2014-04)，ABC@Home找出 2380 万个三元组，现今目标在找出c不大于263的所有三元组(a,b,c)。

历史

1996年，艾伦·贝克（Alan Baker）提出一个较为精确的猜想，将 rad (abc) 用 ε ^(-ω)rad (abc) 取代，在此 ω 是 a,b,c 的不同素因数的数目。

2007年，吕西安·施皮罗尝试给出证明，后来被发现有错误。

2012年8月，日本京都大学数学家望月新一发表长约五百页的abc猜想的证明，以他建立的宇宙际泰赫米勒理论（inter-universal Teichmüller theory）为基础。该证明目前正由其他数学专家检查中。当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，当中很多也是打字错误。望月新一在网上公开了2013年以及2014年的检验进度报告。2018年8月，皮特·舒尔策和Jakob Stix指出，望月新一的证明论文中 Corollary 3.12 证明结尾的一行推理存在无法修复的缺陷。望月认为二者的批评存在“某种根本上的误解”。