怪兽群1970

魔群的阶是26个散在群中最大的，其阶为

有限单群的分类已完成(见有限单群分类一文)。每个有限单群都属于当中有的18类可数无限族中，或不包含于那些可系统化模式的18类可数无限族中，那26个的“散单群”中。而魔群是那26个散单群中阶数最大的群。而二十六个散单群除了六个，其余的散单群均是魔群的子集合。罗伯特‧格里斯(Robert Griess)将那六个不为魔群子集的群称为“低群”(pariahs)，并以“快乐大家族”(the happy family)一词称呼其他的散单群。

或许对魔群最好的定义方式，就是将之定义为同时包含康威群(Conway group)和费歇尔群的有限单群中阶最小者（魔群虽为散在群中阶最大的，但这不表示它是所有有限单群中阶最大的，其他类的有限单群中有阶比其更大者存在）。

存在性与唯一性

魔群的存在性最早在1973年为贝恩德‧费希尔(Bernd Fischer，他未出版相关想法)与罗伯特‧格里斯所预测，他们当时认为存在一个单群，该单群包含子魔群中做为某个对合的中心化子的某个双覆盖。数月后，M的阶被格里斯以汤普森阶公式(Thompson order formula)计算出，而费希尔(Fischer)、康威(Conway)、诺顿(Norton)与汤普森(Thompson)等人则发现此群包含了其他的群做为其子商，被包含的群包括了许多已知的散单群，此外他们还发现了两个新的单群：汤普森群和原田-诺顿群。格里斯将魔群建构为格里斯代数(一个196884维的交换非结合代数)的自同构群。约翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)随后简化了其建构。

格里斯的建构证明了魔群的存在。约翰‧汤普森(John G. Thompson)则说明了其做为阶为此数的单群的唯一性可由一个196883维忠实表示法的存在得出。该表示法的存在性在1982年为西蒙‧诺顿(Simon P. Norton)提出，然而他从未发表此证明的细节。第一个关于魔群唯一性的证明则由格里斯、麦尔法兰肯菲尔德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)给出。

月光猜想

魔群是康威(Conway)和诺顿(Norton)所提出的怪兽月光理论的两个主要成分之一。此猜想与离散和非离散数学相关，并在1992年为理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所证明。

在此设定下，魔群可由魔群模组的自同构群示现：亦即由一作用在怪兽李代数上，属广义Kac–Moody代数，且包含Griess代数的无穷维代数的顶点算子代数示现而出。

表示与维度

最小的、忠实复数表示的维度是196,883，它是魔群阶数可分得3个因子乘积的分割。最小的忠实线性表示，是在两个元素的域上的196,882维表示，仅比最小的忠实复数表示的维度小1。

魔群的最小忠实置换表示有

97239461142009186000

= 24 · 37 · 53 · 74 · 11 · 132 · 29 · 41 · 59 · 71 ≈ 1020

个点。

魔群可被实现为有理数上的一个伽罗瓦群(Thompson 1984，p. 443)，也可视为一个胡尔维兹群(Hurwitz group)(Wilson 2004)。

魔群在单群中并不寻常，因为目前没有简单的规则或方法可表示他的元素。与其说是群本身阶数大，不如说它缺乏足够小的表示。例如，单群A100和SL20(2)远大于魔群，但它们有小的置换或线性表示：交错群例如A100都有相较群自身更小的置换表示，而所有有限单李型式群例如SL20(2)也都有相较群自身相比更小的线性表示。除了怪物群之外的所有散在单群也具有足够小的线性表示，以至于它们易于在计算机上工作（难度仅次于怪物群的，是可分割成4370维的小魔群(baby Monster)的表示）。

麦凯的E8观察

魔群和扩张登金图(Dynkin diagram) E₈, 亦存在着关系，其关联在图结点与魔群同余类之间表现得更明显，此关联又被称作“麦凯的E8观察”(McKay's E8 observation)

子群结构

魔群包含了至少44个共轭类的极大子群。六十数种同构类型的非交换单群，亦包含在魔群中，做为魔群的子群或子群的商群。

魔群的子群包括了26个散在群中的多数，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之图是基于马克‧罗南(Mark Ronan)所撰的书《Symmetry and the Monster》的，表明这些散在单群是如何与彼此产生关系的。线段表示下方的群被其上的群所包含，并为其上的群的子商。圈起来的符号，表示该符号所代表的群不被包含于其他更大的散在单群中。为了清楚表明，多余的包含关系在此图中未表示。

参照

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Griess, Robert L., The friendly giant, Inventiones Mathematicae, 1982, 69 (1): 1–102, ISSN 0020-9910, MR 0671653, doi:10.1007/BF01389186

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