钱珀瑙恩数

钱珀瑙恩数（英语：Champernowne constant） C₁₀ 是一个实数内超越数，其十进制表示法有重要的特性，得名自数学家D. G.钱珀瑙恩，在1933年以本科生（剑桥大学）的身份发表有关钱珀瑙恩数的论文。

在十进制下，可以用连续整数来定义钱珀瑙恩数（OEIS数列A033307）： C₁₀=0.12345678910111213141516…

也可以定义其他进制系统下的钱珀瑙恩数： （公式略）

钱珀瑙恩字（Champernowne word）或是巴比尔字（Barbier word）是指由Ck各位数形成的数列。

十进制下的钱珀瑙恩数C10为正规数，是每个数字出现机会均等的实数。

定义

十进制下的钱珀瑙恩数可以透过如下级数定义： C₁₀=∑ ₙ₌₁^(∞)n/(f(n)),

其中函数值 f(n) 表示十进制下，从 1 到 n 的所有正整数的位数和，可写作： （公式略）

其中 （公式略） 表示 n 在十进制下的位数。

性质

实数x若在某一进制b下，其数字都是均匀分布，此实数在底数b下为正规数。均匀分布的意思是所有数字出现比率相近，所有二位数字组合出现比率相近，所有三位数字组合出现比率相近等。若实数在所有进制都是正规数，则称为绝对正规数。

若将一数字的各位数组成一字串，为[a0, a1,...]，而此数字在10进制下正规数，因此可以预期，此字串中，字串[0], [1], [2], …, [9]出现的概率都是1/10，而字串[0,0], [0,1],..., [9,8], [9,9]出现的概率都是1/100。

钱珀瑙恩证明了 C₁₀ 在十进制下为正规数，Nakai和Shiokawa证明了更通用的定理：也就是 C_(b) 在b进制下都会正规数。有关在 b≠ k 的条件下， Cₖ 在b进制是否是正规数，这问题是还没有答案的开放问题。例如，目前还不知道 C₁₀ 在9进制下是否是正规数。例如 C₁₀ 的前54位数是0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313，在9进制下表示为 0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887₉。

Kurt Mahler证明钱珀瑙恩数是超越数。 C₁₀ 的无理性度量（表示用有理数近似此数字的困难程度）为 μ (C₁₀)=10，而针对 b≥ 2 的进制 b， μ (C_(b))=b。