虚数单位

在数学、物理及工程学里，虚数单位是指二次方程 x²+1=0 的解。虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统 R 延伸至复数系统 C。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如刚才提到的方程式 x²+1=0 就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。虚数单位通常标记为 i，但在涉及电气、电机工程等电学相关领域时，则往往标记为 j，这是为了避免与电流（记为 i(t) 或 i）相混淆。

定义

虚数单位 i 定义为二次方程式 x²+1=0 的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为： x²=-1。

由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号 i。很重要的一点是， i 是一个良定义的数学构造。

另外，虚数单位同样可以表示为： i=√(-1)

然而 i=√(-1) 往往被误认为是错的，他们的证明的方法是：

因为 -1=i· i=(√(-1))× (√(-1))=√((-1)× (-1))=√1=1，但是-1不等于1。

但请注意： √(a· b)=√a· √b 成立的条件有 a, b 不能为负数。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设 i 是一个未知数，然后依照 i 的定义，替代任何 i² 的出现为-1。 i 的更高整数幂数也可以替代为 -i， 1，或 i，根据下述方程式： i³=i²i=(-1)i=-i， i⁴=i³i=(-i)i=-(i²)=-(-1)=1， i⁵=i⁴i=(1)i=i。

• 一般地，有以下的公式： i⁴ⁿ=1
• i⁴ⁿ⁺¹=i
• i⁴ⁿ⁺²=-1
• i⁴ⁿ⁺³=-i
• iⁿ=i^(nmod 4)

其中 mod 4 表示被4除的余数。

补充定义

代数定义

作为二次方程 x²+1=0 的一个解。即， i 是满足方程 i²=-1

的数。由于该方程在实数域 R 内无解，引入 i 是构造更广的数系——复数域的关键步骤。

作为有序对

在复数严格的公理化构造中，复数定义为有序对 (a,b)，其中 a,b∈ R。在此框架下，虚数单位 i 被定义为有序对 i:=(0,1)。

而复数的乘法规则定义为 (a,b)· (c,d)=(ac-bd,ad+bc)。由此可验证： i²=(0,1)· (0,1)=(0· 0-1· 1,0· 1+1· 0)=(-1,0)=-1。

这一定义完全绕开了“负数的平方根”这一初始概念，从而在逻辑上更为基础。

i和-i

方程 x²=-1 有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解 i，那么 -i （不等于 i）也是一个解，由于这个方程是 i 的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为 i，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然 -i 和 i 在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是 i 和 -i 之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同时将所有i替换为-i，该等式仍成立。 -i²=1

− -i=i⁻¹=1/i

正当的使用

虚数单位有时记为 √(-1)。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式 √a· √b=√(a· b) 仅对于非负的实数 a 和 b 才成立。

假若这个关系在虚数仍成立，则会出现以下情况： -1=i· i=√(-1)· √(-1)=√((-1)· (-1))=√1=1 （不正确） -1=i· i=± √(-1)· ± √(-1)=± √((-1)· (-1))=± √1=± 1 （不正确） （公式略） （不正确）

与算术平方根的关系

在复数域中，“平方根”是一个多值函数。对于非负实数 a，符号 √a 通常指其唯一的非负实平方根（称为**算术平方根**或**算术平方根**）。然而，对于负数或一般的复数，符号 √z 必须明确其分支的选择。通常，复数的**算术平方根**函数定义为其辐角落在区间 (-π,π ] 内的那个根。

在这种约定下， √(-1) 的主值是 i （而非 -i）。即便如此，涉及多个复数的算术平方根的恒等式也普遍不成立。因此，在处理复数时，最安全且清晰的做法是直接使用符号 i 及其基本性质 i²=-1 进行计算，避免对负数直接应用根号运算法则。

i的运算

利用复数的运算规则和欧拉公式，可以对虚数单位 i 进行各种数学运算，包括平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除特殊说明外，均为与 i 有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

基本运算与幂循环

虚数单位 i 的整数幂遵循一个周期为4的循环： （公式略）

一般地，对任意整数 n，有： iⁿ=i^(nmod 4)

其中 mod 4 表示被4除的余数。

平方根： i 的平方根为： （公式略）

使用算术平方根符号表示其主值： （公式略）

其解法为先假设两实数 x 及 y，使得 (x+iy)²=i，然后求解 x,y。

一般幂运算

利用欧拉公式 e^(iθ)=cos θ +isin θ，可以将虚数单位表示为指数形式： i=e^(i((π)/2+2kπ))，其中 k∈ Z 为任意整数。

由此可推导出更一般的幂运算公式。设 a,b,c∈ R，且 a>0，则有：

以 i 为指数的幂（实数的虚数次幂）： aⁱ=e^(iln a)=cos(ln a)+isin(ln a)

这是一个模为1的复数，其几何意义是在复平面上将点1旋转 ln a 弧度。

以虚数为指数的幂（实数底数的纯虚数次幂）： a^(bi)=e^(biln a)=cos(bln a)+isin(bln a)

复数的复数次幂（最一般的情况）： a^(b+ci)=a^(b)· a^(ci)=a^(b)[cos(cln a)+isin(cln a)]

此公式清晰地分离了结果在复平面上的**伸缩因子** a^(b) 和**旋转因子** a^(ci)。

最为人熟知的特例： i 的 i 次幂 iⁱ=[e^(i((π)/2+2kπ))]ⁱ=e^(i²((π)/2+2kπ))=e^(-((π)/2+2kπ))， k∈ Z

代入不同的 k 值，可计算出无限多的解。当 k=0 时，得到其主值 e^(-(π)/2)≈ 0.207879576...

对数

以 i 为底的对数：

对于正实数 x>0，有： （公式略） （取主值）

更一般地，对于正实数 a>0 且 a≠ 1，以 i 为底的对数可由换底公式导出： （公式略）， k∈ Z。

这是一个纯虚数，且由于 ln i 的多值性，其结果也有无穷多个值。

三角与双曲函数

以下恒等式揭示了虚数单位如何联系三角函数与双曲函数，这是欧拉公式的直接推论。对于实数 x： （公式略）

这些公式表明，对虚自变量的三角函数求值，会转化为实自变量的双曲函数。

作为直接应用，可以计算： （公式略）

sin （公式略）

在编程语言

大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt或Math.Sqrt)的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。

但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。

一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。

在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。

在Mathematica，虚数单位的表示方法为I、𝕚或𝕛。

在Maple，必须启用虚数功能，并选择用i还是j表示虚数单位。

Go语言于第 1.0 版就内建虚数和复数的支持，变量类型为 complex64和complex128。