朗道量子化1930

推导

朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出。这里采用量子力学的方法进行推导：

考虑一个带电粒子组成的二维系统。这些粒子无内部相互作用，所带电荷为q，自旋量子数为S，并被限制在x-y平面内一个面积A = LxLy的区域内。

对这一系统施加一个沿z轴的均匀磁场 （公式略）。由于自旋对于这个二维系统没有影响，因而在下面的推导中将忽略自旋。在CGS单位制下，这个系统的哈密顿算符为： （公式略）

式中 p 为正则动量算符， （公式略） 为磁场的磁矢势，与磁感应强度的关系为： （公式略）

给定磁场的磁矢势具有一定的规范自由度。当 （公式略） 被添加一个标量场的梯度时，波函数的整体相位也会随着标量场产生一定的变化，但由于哈密顿算符具有规范不变性，系统的物理性质并不受选定的规范影响。为了简便计算，这里选择朗道规范： （公式略）

式中B=|B|，x为位置算符x方向上的分量。

在这一规范下，系统的哈密顿算符为： （公式略）

算符 p_(y) 与这一哈密顿算符是对易的。这是因为在选定规范时，算符 y 被忽略掉了，因而算符 p_(y) 可被它的本征值ħky替代。

如果设定回旋频率ωc = qB/m，那么可以得出此时哈密顿算符为： （公式略）

这与量子谐振子的哈密顿算符基本一致，但势能的最小值需要在位置表象中移动x0 = ħky/mωc。

注意到谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量，也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致： Eₙ=ħ ω _(c)(n+1/2), n≥ 0.

由于能量与量子数ky无关，因而会存在一定的简并态。

由于 p_(y) 与哈密顿算符是对易的，因而系统的波函数可以表示为y方向上动量的本征值与谐振子本征矢 |φ ₙ⟩ 的乘积，但 |φ ₙ⟩ 也需要在x方向上移动x0，即： Ψ (x,y)=eⁱk_(y)yφ ₙ(x-x₀).

总之，电子的状态可以通过n与ky这两个量子数表征。

朗道能级

朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值，即kT ≪ ħωc时才能被观测到。简单来说就是温度较低，外磁场较强。

每个朗道能级都具有一定的简并度，因为量子数ky的取值情况为： （公式略）,

式中N为整数。N所允许的取值受到振子的运动中心坐标x0的影响。振子的运动必须在系统范围内，也就是说0 ≤ x0 < Lx。这给出了N的取值范围： （公式略）

对于带电量q = Ze的粒子来说，N的上限可以表记为磁通量的比值： （公式略）

式中 Φ0 = h/e为磁通量的基本量子，Φ = BA是系统的磁通量，面积A = LxLy。

因而对于自旋为S的粒子，每个朗道能级的简并度的最大值D为： （公式略）

上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果，严格来说，谐振子解只对在x方向上不受限的系统有效，如果系统尺度Lx是有限的，那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上，两个都是埃尔米特方程的解。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一。

一般来说，朗道能级可以在电子系统中被观察到，其中Z=1，S=1/2。随着磁场增强，越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡，如德哈斯-范阿尔芬效应及舒布尼科夫-德哈斯效应。

如果考虑到塞曼效应的话，那么每个朗道能级都会分裂为一对能级：一个为自旋向上的电子占据的能级，一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率：D = Φ/Φ0。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的： 2μBB = ħω。然而在多个能级被占满时，系统的费米能与基态的能量却是大致相同的，因为塞曼效应造成的影响，在这些能级相加时会被抵消掉。

讨论

在上面的推导过程中，x与y似乎并不对称。然而，考虑到系统的对称性，并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对x与y进行适当的内部变换后，可以得到相同的结果。

此外，上述推导中电子在z方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在，如二维电子气。但这一假设并不基本。如果电子在z方向上可以自由移动，那么波函数还需要乘以一个因子exp(ikzz)，能量对应地需要加上(ħ kz)2/(2m)。这一项会“填入”能级间隙，从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面x-y上的运动仍是量子化的。

对称规范中的朗道能级

选定对称规范： （公式略）

对于哈密顿算符进行去量纲化： H=1/2[(-i(∂)/(∂ x)-y/2)²+(-i(∂)/(∂ y)+x/2)²]

实际值可以通过引入 q、 c、 ħ、 B 及 m 等常数得出。

• 引入算符 （公式略）
• （公式略）
• （公式略）
• （公式略）

这些算符的对易关系为： [a,a^(†)]=[b,b^(†)]=1.

哈密顿算符可记为： H=a^(†)a+1/2

朗道能级序数 n 是 a^(†)a 的本征值。

角动量z方向上的分量为： L_(z)=-iħ (∂)/(∂ θ)=-ħ (b^(†)b-a^(†)a)

利用其与哈密顿算符可对易，即 [H,L_(z)]=0，我们选定 L_(z) 的本征值 -mħ 为使 H 与 L_(z) 对角化的本征函数。易见，在第 n 个朗道能级上存在 m≥ -n。然而 m 的值可能非常大。在下面将推导系统表现出的有限简并度。

使用 b^(†) 可以使 m 减小一个单位同时使 n 保持不变，而 a^(†) 则可以使 n 增大一个单位，同时令 m 减小一个单位。类比量子谐振子，可以得到： H|n,m⟩ =Eₙ|n,m⟩

Eₙ=(n+1/2)

| （公式略）

在朗道规范与对称规范下，每个朗道能级上的简并轨道分别以量子数ky及 m 表征，每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。

可以证明选定下面这个波函数时，也可以得到上面得到的结果： ψ _(n,m)(x,y)=((∂)/(∂ w)-w/4)ⁿw^(n+m)e⁻|w|²/4

式中 w=x+iy。

特别地，对于最低的朗道能级，即 n=0 时，波函数为任意一个解析函数与高斯函数的乘积： ψ (x,y)=f(w)e⁻|w|²/4。

规范变换的影响

进行这样的规范变换： A→ A'=A+∇ λ (x)

运动学动量的定义为： （公式略）

式中 （公式略） 为正则动量。哈密顿算符是规范不变的，因而 ⟨ π ⟩ 与 ⟨ x⟩ 也会在规范变换后保持不变，但 （公式略） 会受到规范变换的影响。

为了考察规范变换带来的影响，设磁矢势为 A 与 A' 时的量子态为 |α ⟩ 与 |α '⟩。

由于 ⟨ x⟩ 和 ⟨ π ⟩ 是规范不变的，可以得到： ⟨ α |x|α ⟩ =⟨ α '|x|α '⟩

• 设算符 G 会使 |α '⟩ =G|α ⟩，则： G^(†)xG=x
• （公式略）
• G^(†)G=1
• 综上所述： （公式略）