余弦定理

同样，也可以将其改为： b²=c²+a²-2cacos β

a²=b²+c²-2bccos α

其中 c 是 γ 角的对边，而 a 和 b 是 γ 角的邻边。

勾股定理则是余弦定理的特殊情况，当 γ 为 90^(∘) 时， cos γ =0，等式可被简化为 c²=a²+b²

当已知三角形的两边和一夹角时，余弦定理可用于计算第三边的长；当已知三边长度时，则可用于求出任何一个角。

历史

余弦定理的历史可追溯至公元三世纪前欧几里得的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。根据几何原本第二卷的命题12和13，并参考右图，以现代的数学式表示即为： AB²=CA²+CB²+2(CA)(CH)

其中 CH=BCcos(π -γ)=-BCcos γ，将其代入上式得到： AB²=CA²+CB²-2(CA)(BC)cos γ

证明

三角函数

• 见右图，在 c 上做高可以得到（投影定理）： c=acos β +bcos α
• 将等式同乘以c得到： c²=accos β +bccos α
• 运用同样的方式可以得到： a²=accos β +abcos γ
• b²=bccos α +abcos γ

将 c² 的右式取代： c²=accos β +bccos α =(a²-abcos γ)+(b²-abcos γ)=a²+b²-2abcos γ

勾股定理

勾股定理之一

设 （公式略） 中， AB=c， BC=a， AC=b。过 B 点作 AC 的垂线，垂足为 D，如果 D 在 AC 内部，则 BD 的长度为 asin C， DC 的长度为 acos C， AD 的长度为 b-acos C。根据勾股定理： c²=(asin C)²+(b-acos C)²

• c²=a²sin ²C+b²-2abcos C+a²cos ²C
• c²=a²(sin ²C+cos ²C)+b²-2abcos C
• c²=a²+b²-2abcos C

如果 D 在 AC 的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。

勾股定理之二

设 （公式略） 中， AB=c， BC=a， AC=b。过 B 点作 AC 的垂线，垂足为 D，设 AD=x，则 CD=b-x，根据勾股定理： c²-x²=BD²=a²-(b-x)²

• c²-x²=a²-b²-x²+2bx
• c²=a²-b²+2bx
• （公式略）
• cos （公式略）

如果 D 在 AC 的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。

应用

余弦定理是解三角形中的一个重要定理。

求边

• 余弦定理可以简单地变形成： （公式略）
• （公式略）
• （公式略）

因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

求角

• 余弦定理可以简单地变形成： （公式略）
• cos （公式略）
• cos （公式略）
• 因为余弦函数在 (0,π) 上的单调性，可以得到： （公式略）
• ∠ （公式略）
• ∠ （公式略）

因此，如果已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。