e的π次方

e^(π) 又称格尔丰德常数（英语：Gelfond's constant）是一个数学常数。与e和π一样，它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明，并注意到： e^(π) = (e^(iπ))⁻ⁱ = (-1)⁻ⁱ

其中i是虚数单位。由于−i是代数数，但肯定不是有理数，因此eπ是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是 2^(√2)，又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值 π +e^(π) 也是无理数。

数值

在十进制中，eπ大约为 e^(π)≈ 23.140692632779….

• 它的值可以用以下迭代来求出。定义 （公式略）
• 其中 （公式略）
• 则 （公式略）

迅速收敛于 e^(π)。

几何中的独特之处

n维球体的体积由以下公式给出： （公式略）

所以，任何一个偶数维的单位球具有体积： （公式略）

把所有偶数维的单位球的体积加起来，得出： ∑ ₙ₌₀^(∞)V₂ₙ=e^(π).

相似或相关的常数

拉马努金常数： e^(π √163)=(格 尔 丰 德 常 数)^(√163)

即所谓的拉马努金常数，是黑格纳数的一个应用，其中 的 163 是问题中用到的黑格纳数。

同 eπ - π 一样，eπ√163 非常接近整数： e^(π √163)= 262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129... ≈ 640 320³+744

虽然这个数是由法国数学家夏尔·埃尔米特在 1859 年所发现，但印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一个预测它非常接近整数，因而以他为名。

这种非常近似于 6403203 + 744 的巧合，可以用 j-invariant的复数乘法及q展开来表示。 j((1+√(-163))/2)=(-640 320)³

且 (-640 320)³=-e^(π √163)+744+O(e^(-π √163))

而 O(e-π√163) 是误差项。 （公式略）

这解释了为何 eπ√163 比 6403203 + 744 小了 0.000 000 000 000 75。（这个证明的细节，可以参考黑格纳数）。

数 eπ - π

由 A018938 所给出 eπ - π 的十进制表示为 e^(π)-π = 19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516...

尽管这个数非常接近正整数 20，但目前没有关于这个现象的解释；因此，被认为是一种数学巧合。

数 πe

由 A059850 给出的 πe 十进制表示为： π ^(e)= 22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315...

目前还不知此数是否是超越数。

须注意的是，根据 格尔丰德-施奈德定理，只有在 a 是代数数，而 b 是非有理数（a，b 都是复数，且 a ≠ 0, a ≠ 1）的情况下，ab 才为超越数。

之所以可以证明 eπ 是超越数，其原因在于复数的指数形式，因为 π 可以被视为复数 eπ 的模，而根据 (-1)-i 的等式，才可以使用 格尔丰德-施奈德定理。

πe 则没有如此的等式，所以，尽管 π 和 e 都是超越数，但我们不能由此说 πe 是超越数。

数 eπ - πe

如同 πe，我们仍不知 eπ - πe 是否是超越性质的。甚至，目前还没有证明说它是无理数：

由 A059850 给出的 eπ - πe 十进制表示为： e^(π)-π ^(e)= 0.6815349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881...

数 ii： iⁱ=(e^(iπ /2))ⁱ=e^(-π /2)=(e^(π))^(-1/2)

由 A059850给出的 ii 十进制表示为： iⁱ= 0.2078795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353...

因为上述等式，可用格尔丰德-施奈德定理证明格尔丰德常数的平方根倒数也是超越的：

i 是代数数，但同时不是有理数，由此ii 是超越数。