龙格－库塔法

四阶龙格-库塔法

在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值时，利用计算机的仿真应用，省去求解微分方程的复杂过程。

• 令初值问题表述如下。 y'=f(t,y), y(t₀)=y₀
• 则，对于该问题的RK4由如下方程给出： （公式略）
• 其中 k₁=f(tₙ,yₙ)
• （公式略）
• （公式略）
• k₄=f(tₙ+h,yₙ+hk₃)

这样，下一个值（yn+1）由现在的值（yn）加上时间间隔（h）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

k1是时间段开始时的斜率；

k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；

k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；

k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值： （公式略）

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。

显式龙格-库塔法

显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出 yₙ₊₁=yₙ+h∑ ᵢ₌₁^(s)bᵢkᵢ,

• 其中 k₁=f(tₙ,yₙ),
• k₂=f(tₙ+c₂h,yₙ+a₂₁hk₁),
• k₃=f(tₙ+c₃h,yₙ+a₃₁hk₁+a₃₂hk₂),
• ⋮ （公式略）

kₛ=f(tₙ+cₛh,yₙ+aₛ₁hk₁+aₛ₂hk₂+⋯ +a_(s,s-1)hkₛ₋₁).

（注意：上述方程在不同著述中有不同但等价的定义）。

要给定一个特定的方法，必须提供整数s（级数），以及系数 aij（对于1 ≤ j < i ≤ s）, bi（对于i = 1, 2,..., s）和ci（对于i = 2, 3,..., s）。这些数据通常排列在一个助记工具中，称为Butcher tableau（得名自约翰·C·布彻）：

龙格－库塔法是自洽的，如果 ∑ ⱼ₌₁ⁱ⁻¹aᵢⱼ=cᵢ for i=2,…,s.

如果要求方法的精度为p阶，即截断误差为O(hp+1)的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。

隐式龙格-库塔法

以上提及的显式龙格－库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格－库塔法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格－库塔法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格－库塔法，一般而言，隐式龙格－库塔法具有以下形式： yₙ₊₁=yₙ+h∑ ᵢ₌₁^(s)bᵢkᵢ,

其中 kᵢ=f(tₙ+cᵢh,yₙ+h∑ ⱼ₌₁^(s)aᵢⱼkⱼ), i=1,…,s.

在显式龙格－库塔法的框架里，定义参数 aᵢⱼ 的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格－库塔法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别： （公式略）

需要注意的是，与显式龙格－库塔法不同，隐式龙格－库塔法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组，这相应的增加了计算的成本。