柯西积分公式

这个公式是柯西在1831年证明的。柯西在同年10月11日首次将其发表，并将它写入了1841年发表的《分析与数学物理习题集》（Exercices d'analyse et de physique mathématique）一书中。

定理

设 Ω 是复平面 C 的一个单连通的开子集。 f: Ω → C 是一个 Ω 上的全纯函数。设 γ 是 Ω 内的一个简单闭合的可求长曲线（即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线），那么函数 f 在 γ 内部的点 a 上的值是： （公式略）

其中的积分为沿着 γ 逆时针方向的积分。

根据导数定义以及函数 f 的连续性，可以得到 （公式略）

再依据数学归纳法，可以得到函数 f 的n阶导数为 （公式略）

称此公式为函数 f 的n阶导数的柯西积分公式。这对所有正整数n都成立，所以全纯函数必然是无穷次可导的。

如果函数 f 仅在 γ 内部是全纯函数，在边界 γ 上仅仅是连续函数，那么只有函数 f 的柯西积分公式成立，而微分公式不一定成立。

证明

选定以 a 为圆心，在 γ 内部的一个圆盘 （公式略），它的边界是圆 （公式略）。函数 f/(z-a) 在闭合区域 （公式略） 上是全纯函数，所以根据柯西积分定理，它在边界上的积分等于0： （公式略）

其中 C₀⁻ 的标记表示沿“内边界” C₀ 的积分是顺时针方向。所以将这个积分改为沿逆时针方向 C₀⁺ 后，就能得到： （公式略）

这个等式与圆盘 D₀ 的半径 r 无关，也就是说无论圆盘多么小，这个等式都成立。注意到当半径 r 趋于0的时候，函数 f 在圆 C₀ 上的值基本上等于 f(a)。所以 （公式略）

这说明 （公式略）

例子

考虑函数： （公式略） 以及闭合区域：|z| = 2。这是一个以原点为圆心，半径为2的圆，以下记作 C. 下面使用柯西积分公式计算 g(z) 沿 C 的积分。

首先，函数 g 有两个极点，分别是方程 z²+2z+2=0 的两个复根： z₁=-1+i,

z₂=-1-i. 它们的模长都小于2，所以都在 C 的内部。函数可以写成 g： （公式略）

g 在两个极点附近趋于无穷。在两个极点周围各作一个小圆圈： C₁ 和 C₂，应用柯西积分定理可知，所要求的积分 ∮ _(C)g(z) dz=∮ _(C)₁g(z) dz+∮ _(C)₂g(z) dz.

注意到函数 （公式略） 在 C₂ 内部是全纯函数，所以在 C₂ 上的积分： （公式略）

同理，函数 （公式略） 在 C₁ 内部是全纯函数，所以 （公式略）

所以 （公式略）