克莱姆法则

基本方程

一个线性方程组可以用矩阵与向量的方程来表示： Ax=c (1)

其中的 A 是一个 n× n 的方块矩阵，而向量 x=(x₁,x₂,⋯ xₙ)ᵀ 是一个长度为n的行向量。 c=(c₁,c₂,⋯ cₙ)ᵀ 也一样。

克莱姆法则说明：如果 A 是一个可逆矩阵（ det A≠ 0），那么方程(1)有解 x=(x₁,x₂,⋯ xₙ)ᵀ，其中 （公式略） (1)

当中 xᵢ 是列向量 x 的第i行（行向量与列向量不一样，解释默认列向量）

当中 Aᵢ 是列向量 c 取代了 A 的第i列后得到的矩阵。为了方便，我们通常使用 Δ 来表示 det(A)，用 Δ ᵢ 来表示 det(Aᵢ)。所以等式(1)可以写成为： （公式略）。

抽象方程

设 R 为一个环， A 就是一个包含 R 的系数的 n× n 矩阵。所以： adj (A)A=det (A)I

当中 det(A) 就是 A 的行列式，以及 I 就是单位矩阵。

证明概要

对于 n 元线性方程组 Ax=c

把系数矩阵 （公式略） 表示成行向量的形式 A=(u₁,u₂,⋯,uₙ)

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解 x^(*)=A⁻¹c.

设 x^(*)=(x₁,x₂,⋯,xₙ)ᵀ，即 Ax^(*)=∑ ₖ₌₁ⁿxₖuₖ=c

考虑 Δ ᵢ 的值，利用行列式的线性和交替性质，有 （公式略）

于是 （公式略）

例子

运用克莱姆法则可以很有效地解决以下方程组。

• 已知： （公式略）
• （公式略）
• 使用矩阵来表示时就是： （公式略）
• 当矩阵可逆时，x和y可以从克莱姆法则中得出： （公式略）
• 以及 （公式略）

用3×3矩阵的情况亦差不多。

• 已知： （公式略）
• （公式略）
• （公式略）
• 当中的矩阵表示为： （公式略）
• 当矩阵可逆时，可以求出x、y和z： （公式略）、 （公式略） 以及 （公式略）

微分几何上的应用

克莱姆法则在解决微分几何的问题时十分有用。

先考虑两条等式 F(x,y,u,v)=0 和 G(x,y,u,v)=0。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我们可定义 x=X(u,v) 和 y=Y(u,v)。

找出一条等式适合 ∂ x/∂ u 是克莱姆法则的简单应用。

首先，我们要计算 F、 G、 x 和 y 的导数： dF=(∂ F)/(∂ x)dx+(∂ F)/(∂ y)dy+(∂ F)/(∂ u)du+(∂ F)/(∂ v)dv=0

dG=(∂ G)/(∂ x)dx+(∂ G)/(∂ y)dy+(∂ G)/(∂ u)du+(∂ G)/(∂ v)dv=0

• dx=(∂ X)/(∂ u)du+(∂ X)/(∂ v)dv
• dy=(∂ Y)/(∂ u)du+(∂ Y)/(∂ v)dv
• 将 dx 和 dy 代入 dF 和 dG，可得出： （公式略）
• （公式略）

因为 u 和 v 互不相关，所以 du 和 dv 的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成： (∂ F)/(∂ x)(∂ x)/(∂ u)+(∂ F)/(∂ y)(∂ y)/(∂ u)=-(∂ F)/(∂ u)

∂ (∂ G)/(∂ x)(∂ x)/(∂ u)+(∂ G)/(∂ y)(∂ y)/(∂ u)=-(∂ G)/(∂ u)

∂ (∂ F)/(∂ x)(∂ x)/(∂ v)+(∂ F)/(∂ y)(∂ y)/(∂ v)=-(∂ F)/(∂ v)

∂ (∂ G)/(∂ x)(∂ x)/(∂ v)+(∂ G)/(∂ y)(∂ y)/(∂ v)=-(∂ G)/(∂ v)

现在用克莱姆法则就可得到： （公式略）

用两个雅可比矩阵来表示的方程： （公式略）

用类似的方法就可以找到 (∂ x)/(∂ v)， (∂ y)/(∂ u)， (∂ y)/(∂ v)。

基本代数上的应用

克莱姆法则可以用来证明一些线性代数中的定理，当中的定理对环理论十分有用。

线性规划上的应用

克莱姆法则可以用来证明一个线性规划问题有一个基本整数的解。这样使得线性规划的问题更容易被解决。

缺点

克莱姆法则在电子计算机出现后，被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个 n 阶线性方程组时，所需乘法次数为 (n+1)! 次。例如求解25阶线性方程组时，总计乘法次数需要 26! （即4.03×1026）次，若计算机每秒能计算100亿次，所需时间约12.79亿年。相比之下，高斯消元法只需3060次乘法，对计算机而言易如反掌。

参考文献： （公式略）