杰斐缅柯方程

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 r 表示；而其大小则用 r 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“ ' ”；源变数的标记的后面有单撇号“ ' ”。

在真空内的电磁场

在真空内，电场 E 和磁场 B 可以用杰斐缅柯方程表达为： （公式略）、 （公式略）;

其中， r 是场位置， r ' 是源位置， t 是现在时间， t_(r) 是推迟时间， ε ₀ 是电常数， μ ₀ 是磁常数， ρ 是电荷密度， （公式略） 定义为电荷密度对于时间的偏导数， J 是电流密度， （公式略） 定义为电流密度对于时间的偏导数， V' 是体积分的空间， d³r ' 是微小体元素。

推导

给予电荷密度分布 ρ (r ', t) 和电流密度分布 J (r ', t)，推迟标势 Φ (r, t) 和推迟矢势 A (r, t) 分别用方程定义为（参阅推迟势） （公式略）、 （公式略）。

推迟时间 t_(r) 定义为现在时间 t 减去光波传播的时间： （公式略）；

其中， c 是光速。

在这两个非静态的推迟势方程内，源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间 t_(r) 有关，而不是跟时间无关。

推迟势与电场 E、磁场 B 的关系分别为 E =-∇ Φ -(∂ A)/(∂ t)、 B =∇ × A。

设定 （公式略） 为从源位置到场位置的分离矢量： （公式略）。

场位置 r、源位置 r ' 和时间 t 都是自变数。分离矢量 （公式略） 和其大小 （公式略） 都是应变数，跟场位置 r、源位置 r ' 有关。推迟时间 （公式略） 也是应变数，跟时间 t、分离距离 （公式略） 有关。

推迟标势 Φ (r, t) 的梯度是 （公式略）。

注意到 （公式略）、 （公式略）。

所以，源电荷密度 ρ (r ', t_(r)) 的梯度是 （公式略）；

其中， ρ (r ', t_(r)) 定义为 （公式略）。

将这公式代入，推迟标势 Φ (r, t) 的梯度是 （公式略）。

推迟矢势 A (r, t) 对于时间的偏导数为： （公式略）。

综合前面这两个公式，可以得到电场的杰斐缅柯方程。同样方法，可以得到磁场的杰斐缅柯方程。

在介质内的电磁场

对于任意介质，将前面所述电场和磁场的方程加以延伸，可以从电荷密度 ρ、电流密度 J、电极化强度 P、磁化强度 M，计算出电场 E、电位移 D、磁感应强度 B、磁场强度 H。