毕奥-萨伐尔定律

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 r 表示；而其大小则用 r 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“ ' ”；源变数的标记的后面有单撇号“ ' ”。

毕奥-萨伐尔定律表明，假设源位置为 r ' 的微小线元素 d ℓ ' 有电流 I，则 d ℓ ' 作用于场位置 r 的磁场为 （公式略）；

其中， d B 是微小磁场（这篇文章简称磁通量密度为磁场）， μ ₀ 是磁常数。

已知电流密度 J (r ')，则有： （公式略）；

其中， d ³r' 为微小体积元素， V ' 是积分的体积。

在流体力学中，以涡度对应电流、速度对应磁场强度，便可应用毕奥-萨伐尔定律以计算涡线（vortex line）导出的速度。

概念

毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。这电流是连续流过一条导线的电荷，电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失。采用国际单位制，用方程表示， （公式略）；

其中， I 是源电流， L ' 是积分路径， d ℓ ' 是源电流的微小线元素。

应用这方程，必须先选出磁场的场位置。固定这场位置，积分于源电流的路径，就可以计算出在场位置的磁场。请注意，这定律的应用，隐性地依赖着磁场的叠加原理成立；也就是说，每一个微小线段的电流所产生的磁场，其矢量的叠加和给出总磁场。对于电场和磁场，叠加原理成立，因为它们是一组线性微分方程的解答。更明确地说，它们是麦克斯韦方程组的解答。

当电流可以近似为流过无穷细狭导线，上述这方程是正确的。但假若导线是宽厚的，则可用包含导线体积 V ' 的积分方程： （公式略）；

其中， J 是电流密度， d ³r' 是微小体积元素。

毕奥-萨伐尔定律是静磁学的基本定律，在静磁学的地位，类同于库仑定律之于静电学。毕奥-萨伐尔定律和安培定律的关系，则如库仑定律之于高斯定律。

假若无法采用静磁近似，例如当电流随着时间变化太快，或当导线快速地移动时，就不能使用毕奥-萨伐尔定律，必须改用杰斐缅柯方程。

匀速运动的点电荷所产生的电场和磁场

由于点电荷的运动不能形成电流，所以，必须使用推迟势的方法来计算其电场和磁场。假设一个点电荷 q 以等速度 v 移动，在时间 t 的位置为 w =v t。那么，麦克斯韦方程组给出此点电荷所产生的电场和磁场： （公式略）、 （公式略）；

其中， θ 是 v 和 r -w 之间的夹角。

当 （公式略） 时，电场和磁场可以近似为 （公式略）、 （公式略）。

这方程最先由奥利弗·亥维赛于1888年推导出来，称为毕奥-萨伐尔点电荷定律。

安培定律和高斯磁定律的导引

这里，我们要从毕奥-萨伐尔定律推导出安培定律和高斯磁定律。若想查阅此证明，请点选“显示”。