几何化猜想

其核心意义为：任何封闭且可定向的三维流形皆可沿特定曲面切割分解成若干基本区域，而每区域都对应于8种标准几何结构。

指的是某类三维拓扑空间的每个空间都有可以与之关联的几何结构。是二维曲面单值化定理的类比。该定理指出每个单连通的黎曼曲面都可以赋予三种几何。

所有封闭二维曲面，如球面、甜甜圈形状的环面，本质上都可以归类为下列3种几何结构：

正曲率：球面几何（如篮球表面）
零曲率：欧几里得几何（如平整的纸面）
负曲率：双曲几何（如马鞍面）

而三维空间流形的拓扑结构远比二维复杂。所以威廉·瑟斯顿于1982年提出，尽管三维空间复杂，但只要将复杂流形进行几何切片，所有组成碎片的基本几何类型只有8种。

猜想的核心意义在于统一拓扑学和几何学。证明：三维拓扑结构完全决定其最优几何结构，反之亦然。拓扑构造会强制空间选择8种标准几何。

该猜想由 William Thurston （1982）提出，作为其瑟斯顿 24 问题的一部分。这个猜想蕴含了其他几个猜想，例如庞加莱猜想和瑟斯顿的椭圆化猜想。

瑟斯顿的双曲化定理蕴含了哈肯流形满足几何化猜想，因此获得1982年菲尔兹奖。

格里戈里·佩雷尔曼于2003年在arXiv.org上载两篇论文，利用割补的里奇流宣布证明了完整的几何化猜想。多个独立团队补全其论证的细节。相关验证工作在2006年完成，获颁2006年菲尔兹奖；2010年，克雷数学研究所因他解决了庞加莱猜想而向他颁发100万美元，不过佩雷尔曼均拒绝领奖。

庞加莱猜想与球面空间型猜想皆为几何化猜想的推论。庞加莱猜想是几何化猜想特例的一个必然推论，即具备球面几何结构的情形。

猜想

如果3-流形无孔洞或缺失端点的紧致，并且无边界，则称为闭流形。简单来说，就是空间没有洞和边缘缺口，就像封闭的球面。

每个流形都有一个素分解即它是素 3-流形的连通和黏合在一起。这将3-流形的大部分研究简化为素3-流形的情况，即那些不能表示为非平凡连通和的流形。简单来说，就是可以先粗拆、再细拆。把任何复杂空间拆成若干素流形的组合，就像把任意整数拆成质数，把不能再随意分割的空间作为基本单元。再沿着二维环面，甜甜圈形状的曲面，进行切割。割开的碎片其内部都可以被赋予前面提到的8种标准几何结构之一，且空间体积有限。

以下是瑟斯顿猜想的表述：

每个可定向素闭3-流形都可以沿二维环面进行切割，使得每个所得流形的内部都具有有限体积的几何结构。

Every oriented prime closed 3-manifold can be cut along 2-tori, so that the interior of each of the resulting manifolds has a geometric structure with finite volume.

简单来说，就是对于不能再粗拆的不可约可定向三维空间，JSJ分解可以将空间沿二维环面（甜甜圈表面）切割成赛弗特流形或无环面流形碎片。但这与几何化猜想中的分解并不完全相同，因为JSJ分解的碎片可能不具备有限体积的几何结构。例如，环面的阿诺索夫映射的映射环面具有有限体积的可解结构，但其JSJ分解将其沿一个环面割开，产生一个环面与单位区间的直积，而其内部并没有有限体积的几何结构。

简单就是，JSJ分解并不保证其产生的每个碎片都符合几何化猜想的要求。

而如果空间是不可定向的，直接切割和填入几何会变得复杂；因为需要切割的图形不仅仅是环面，还包括射影平面和克莱因瓶，而带有某些这种边界的碎片本身可能就没有几何结构。最简单的方法是以二换一。把不可定向流形复制一份，做成一可定向双重复盖，就像把莫比乌斯带变回一个带子，只有点的数量增加。然后对这个可定向的空间应用几何化猜想。

在二维空间中，每个闭曲面都具有由常曲率度量组成的几何结构；没有必要先切割流形。具体而言，每个闭曲面都微分同胚于 S2、E2 或 H2 的商空间。

瑟斯顿几何

模型几何（model geometry）是一个单连通光滑流形 X，配备一个李群 G 在 X 上具紧致稳定子群的过渡作用。

简单来说是一个空间，而且空间非常均匀、齐次性。本身很干净、没有死角、没有奇点，是单连通的，空间的任何闭合循环都可以收缩成一个点，也就是没有洞。

李群的过渡作用意思是这个空间任何一个点，都可以透过这个群里面的对称变换（如旋转、平移等）移动到任何另一个点。换言之，空间中每个位置看起来都一模一样。紧致稳定子群则保证了在某一点上的旋转对称变换不会跑去无穷大，确保可以在这个空间上建立良好的距离度量。

若 G 在所有于 X 上光滑且过渡作用，并具紧致稳定子群的群中是极大的，则该模型几何称为极大模型几何。有时此条件会包含在模型几何的定义之中。

极大的意思就是把所有可能的对称性发挥到极限。如果我们在这个空间上找不到更大、包含更多对称变换的群 G，无法再添加更多对称性，那这个几何模型就是极大的。限定极大是为了避免重复计算，否则只要把对称群故意缩小，就能造出无限多种实质相同但数学描述不同的几何。

如果一个三维模型几何 X 是极大的，并且至少有一个紧致流形具有以 X 为模型的几何结构，那么它就与几何化猜想相关。瑟斯顿对满足这些条件的 8 个模型几何进行了分类；它们列于下方，有时被称为瑟斯顿几何（Thurston geometries）。满足极大性等条件的三维模型几何实际上只有这8种。但如果放宽存在紧致商空间（即存在紧致流形）的条件，三维模型几何将多到不可数。

这些几何与比安基分类（即三维李群）存在某种联系。大多数瑟斯顿几何都可以实现为比安基群上的左不变度量（left-invariant metric）。大多数瑟斯顿几何都可以实现为某个比安基群上的左不变度量。这种代数构造保证了空间在群作用下的几何均匀性。

然而，S2 × R 无法以这种方式实现；欧几里得空间则对应两个不同的比安基群；此外，还有不可数多个可解的非单模（non-unimodular）比安基群，其中大多数产生的模型几何都不存在紧致代表（即无法构成紧致流形）。

唯一性

一个闭3-流形最多只能拥有上述8种空间类型中的其中一种，但有限体积的非紧致 3-流形偶尔可以拥有一种以上的几何结构。

然而，同一个流形可以拥有许多属于同一类型的不同几何结构；例如，亏格至少为 2 的曲面拥有连续无穷多个不同的双曲度量。

更精确说，若 M 为具有有限体积几何结构的流形，则该几何结构的类型几乎可以根据其基本群 π ₁(M) 确定如下：

若 π ₁(M) 为有限群，则 M 上的几何结构为球面几何，且 M 为紧致流形。

若 π ₁(M) 为虚循环群（virtually cyclic）但非有限群，则 M 上的几何结构为 S ²× R 几何，且 M 为紧致流形。

若 π ₁(M) 为虚阿贝尔群（virtually abelian）但非虚循环群，则 M 上的几何结构为欧几里得几何，且 M 为紧致流形。

若 π ₁(M) 为虚幂零群（virtually nilpotent）但非虚阿贝尔群，则 M 上的几何结构为 Nil 几何，且 M 为紧致流形。

若 π ₁(M) 为虚可解群（virtually solvable）但非虚幂零群，则 M 上的几何结构为 Solv 几何，且 M 为紧致流形。

若 π ₁(M) 具有无限正规循环子群（infinite normal cyclic subgroup）但非虚可解群，则 M 上的几何结构为 H ²× R 或（公式略）万有覆盖几何。流形 M 可以是紧致的或非紧致的。若其为紧致流形，则这两种几何结构可以透过 π ₁(M) 是否包含一个有限指数子群，且该子群可分裂（split）为该正规循环子群与其他群的半直积来加以区分。若流形为非紧致的，则基本群无法区分这两种几何结构，并且存在某些例子（例如三叶结的补空间），使得同一个流形可以同时具备这两种类型的有限体积几何结构。

若 π ₁(M) 不含无限正规循环子群且非虚可解群，则 M 上的几何结构为双曲几何，且 M 可以是紧致的或非紧致的。

无限体积流形可以拥有多种不同类型的几何结构：例如， R ³ 可以拥有上述列出的 8 种几何结构中的 6 种，因为 8 个模型几何中有 6 个与它同胚。

历史

1982 年，菲尔兹奖颁发给瑟斯顿，部分原因是表彰他证明了哈肯流形的几何化猜想。

1982年，理查·哈密顿（Richard S. Hamilton）证明了若一个闭 3-流形具备正里奇曲率度量，则里奇流会在有限时间内将该流形塌缩成一点。这证明了此特殊情况下的几何化猜想，因为度量在塌缩前一刻会变得几乎圆形（almost round）。因此有了利用带手术的里奇流（Ricci flow with surgery）来证明几何化猜想的方向。其核心思想在于，里奇流在一般情况下会产生奇异点（singularities），但人们可以透过拓扑手术（surgery）改变流形的拓扑结构，从而剪除奇异点并使里奇流跨越奇异点继续演化。粗略而言，里奇流会收缩正曲率区域并膨胀负曲率区域，因此它会消灭具有“正曲率”几何结构（即 S3 与 S2 × R）的流形组件，而在时间足够长（large times）之后留下的部分，则应具有厚薄分解，分为由双曲几何构成的厚（thick）组件，以及由图流形构成的薄（thin）组件。

2003年，格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）宣布了几何化猜想的证明，表明里奇流确实可以跨越奇异点继续演化，并展现出上述的演化行为。

佩雷尔曼证明的关键环节，是黎曼几何学中一个全新的塌缩定理（collapsing theorem）。佩雷尔曼在其预印本《三维流形上带手术的里奇流》（Ricci flow with surgery on three-manifolds）中提出了该结果（定理 7.4），但并未公布证明细节。自塩谷隆（Shioya）与山口孝男（Yamaguchi）研究开始，现时已有数个关于佩雷尔曼塌缩定理或变体的不同证明。塩谷与山口的表述方式已被应用于首批完整阐述佩雷尔曼证明的详细文献中。

通往佩雷尔曼几何化猜想证明最后一部分的第二条途径，是洛朗·贝西埃尔及其合作者的研究方法，该方法利用了瑟斯顿针对哈肯流形的双曲化定理（hyperbolization theorem），以及格罗莫夫针对 3-流形的范数（Gromov norm）。

高维度

四维

在四维空间中，只有相当受限的一类闭四维流形可以进行几何分解。然而，仍可给出极大模型几何的列表。

四维极大模型几何由Richard Filipkiewicz于1983年分类。共有18种，外加1个可数无限族：它们的常见名称为 E4、Nil4、Nil3 × E1、Sol4m,n（一个可数无限族）、Sol40、Sol41、H3 × E1、（公式略） × E1、H2 × E2、H2 × H2、H4、H2(C)（一个复双曲空间）、F4（双曲平面的切丛）、S2 × E2、S2 × H2、S3 × E1、S4、CP2（复射影平面）以及 S2 × S2。没有闭流形容许 F4 几何，但有些流形具有包含 F4 部分的适当分解。