卡特钟摆1817

克特-可倒摆（英语：Kater's pendulum) 是由英国物理学家亨利·克特于1817年所发明（于1818年1月29日发表）的可翻转自由旋转摆，属于复摆的一种。 其主要功能是作为测重仪器以测量某地点的重力加速度，在重力测量领域相当重要。和一般的摆不同，克特-可倒摆的优势在于：使用克特-可倒摆测量重力加速度时，不需要知道摆的转动惯量和振荡中心，即可进行测量，进而提供更高的精确度。在1930年代以前，克特-可倒摆及其衍生的多种改良形式，始终是大地测量学领域测定重力加速度的标准方法。如今，它主要用于展现摆的性质及原理。

使用方法

方法一：在小振幅的摆动下，单摆可以被用来测量重力加速度，因为此时小角度近似便会成立，单摆的周期 T 完全由摆长 L 和重力加速度 g 决定，其关系式如下

： T=2π √(L/g) (1)

所以只要测量周期 T 和摆长 L，就能推算出 g。

克特-可倒摆的主体由一坚硬的金属棒和两个分别靠近两端点的支点组成，因此它可以在正挂或是倒挂的情况下摆动。克特-可倒摆上也会有可调节位置的金属件，和位于其中一端的摆锤，用来调整复摆摆动时的质量分布。另外，其实也有另一种克特-可倒摆，它的质量分布不能被挑整，它是透过调整其中一端支点的位置来达到相同效果。使用时，应测量其正挂、倒挂时各自的周期。此时，移动位于摆上的的金属件，调整其质量分布，使得正挂周期等于倒挂周期。此时，这个周期 T 便会等于一个摆长为两支点间距离的理想单摆之摆动周期。在不用知道复摆的转动惯量和重心的情况下，由此周期 T 和两支点之间的距离，便能用公式 (1)，精确的算出重力加速度 g。

方法二：要找到正确的配重使正挂、倒挂周期一样，是一项十分费时且繁琐的操作，所以我们可以透过以下方法进行测量。首先，使用方法二时，需要先知道克特-可倒摆重心位置，这个步骤可借由平衡支架完成。令 T₁ 为正挂时的周期， l₁ 则是正挂时支点与质心的距离；反之， T₂ 为倒挂时的周期， l₂ 则是倒挂时支点与质心的距离。则我们有以下关系式

： （公式略）

这个式子对于任意周期皆成立，因此不需要花时间调整配重。但其劣势在于，由于多了质心位置与 l₁、 l₂ 的测量，不确定度来源也会随之增加。

原理

一个物理摆在做小角度的振荡时，其振荡周期可以用以下公式表示： T=2π √(I/(M· g· l))

其中， I 指的是复摆的转动惯量， M 是复摆质量，而 l 则是支点以及重心的距离。

• 因此，对于克特-可倒摆，其正挂、到挂的周期分别可表示成： （公式略）
• 根据平行轴定理，可将式子改写为： （公式略）
• 将两式平方并移项整理得： （公式略）

将两式相减，消去 I_(COM) 及 M: g(l₁· T₁²-l₂· T₂²)=4π ²(l₁²-l₂²)

在经过适当化简后即可得方法二的公式： （公式略）

注意到，当 T₁ 等于 T₂ 等于 T 时： （公式略）

此即方法一中，计算 g 的公式。这就是为何方法一能让我们在不知道重心位置的情况下计算出 g。

历史

早期方法

早期科学家主要是透过秒摆来测量重力加速度。秒摆指的是摆动一次所花时间为1秒的单摆，也相当于周期为2秒。根据公式： T=2π √(L/g) (1)

我们可以得到以下关系式： g=L· π ²

科学家只要调整摆长，使单摆周期等于2秒，再测量该摆长，便能算出重力加速度 g。

用单摆测量重力加速度的问题

不论是用秒摆或是一般的单摆测量重力加速度，其结果的精确度都不高。在克特所生活的17至18世纪，人们已经能准确测量周期，所以单摆的限制主要来自于对于摆长 L 的测量。在理想的单摆中，细绳是没有质量且不会变形的，然而在现实中，细绳也会有转动惯量，且在摆动时受张力的影响，绳子也会被拉伸，这些因素限制了重力加速度的精确度。

解决方法-复摆

1673年，荷兰科学家惠更斯曾指出，一个复摆的周期可以用特定摆长的理想单摆的周期来表示，其中这个摆长会等于支点到振荡中心的距离，称为“等效摆长”。振荡中心是位于复摆重心下的一个点，其位置与复摆的质量分布相关。因此，若能找出复摆的振荡中心便能求出重力加速度。然而，要找到复摆的振荡中心是非常困难的一件事。理论上，我们能透过复摆的形状与密度来计算出振荡中心的位置。但是这仍然是一大挑战，因为复摆不一定是完全均质的，而且此计算过程将会十分复杂，对于当时的计算工具而言仍难以解决，所以现在的问题变成是“如何找到复摆的振荡中心”。

克特的解决方案

其实，早在惠更斯提出振荡中心的概念时，他同时也证明了复摆具有以下性质：复摆的支点与振荡中心是可以互相交换位置的。也就是说，如果一个复摆被上下颠倒悬挂于其振荡中心，其摆动周期会等于正挂时的周期，且旧的支点会变成新的振荡中心。

1816年，身为英国皇家学会成员的克特，被指派要精准测量伦敦当地秒摆的摆长，以测量当地的重力加速度。他发现，惠更斯所发现的这项性质能被用来找到复摆的振荡中心和等效摆长。如果一个复摆可以被倒挂在另一个可调节位置的支点，当正挂与到挂周期一致时，则两个支点互为彼此的振荡中心，而等效摆长自然就是两支点间的距离，重力加速度因此就能被准确测量。

其实，可调节支点位置的克特摆才是最原始的设计。透过金属件与摆锤来调整质量分布的克特摆，则是为使操作更方便而出现的改良版本。

轶闻

克特其实不是最早想到此解决方法的人。早在1800年，法国数学家德普罗尼便已提出“可倒摆”的想法，只是他的成果直到1889年才被出版。而克特在1817年独立发明了自己的可倒摆，并首先将它付诸于实际应用。