链式法则

正式表述

两函数 f 和 g 的定义域 ( D_(f) 和 D_(g))、值域 ( I_(f) 和 I_(g)) 都包含于实数系 R，若可以定义合成函数 g∘ f (也就是 I_(f)∩ D_(g)≠ ∅)，且 f 于 a∈ D_(f) 可微分，且 g 于 f(a)∈ I_(f)∩ D_(g) 可微分，则 (g∘ f)^(′)(a)=g^(′)[f(a)]· f^(′)(a)

也可以写成 (dg[f(x)])/dx |ₓ₌ₐ=(dg(y))/dy |_(y=f(a))· df/dx |ₓ₌ₐ

例子

求函数 f(x)=(x²+1)³ 的导数。

设 g(x)=x²+1

h(g)=g³→ h(g(x))=g(x)³.

f(x)=h(g(x))

f'(x)=h'(g(x))g'(x)=3(g(x))²(2x)=3(x²+1)²(2x)=6x(x²+1)².

• 求函数 （公式略） 的导数。 （公式略）
• （公式略）
• （公式略）

证明

严谨的证明需要以下连续函数的极限定理： f 和 g 都是实函数，若可以定义合成函数 g∘ f 且 lim _(x→ a)f(x)=L

lim lim _(y→ L)g(y)=g(L)

则有 lim _(x→ a)g[f(x)]=g(L)

只要展开极限的ε-δ定义，并考虑 f(x) 等于或不等于 L 的两种状况，这个极限定理就可以得证。

为了证明链式法则，定义一个函数 G，其定义域 D_(G)=D_(g)， 而对应规则为 （公式略）

和一个函数 F，其定义域 D_(F)=D_(f)， 而对应规则为 （公式略）

这样，考虑到 g∘ f 于 a 的导数是以下函数（定义域为 D_(g ∘ f)）的极限 lim _(x→ a)(g(y)-g[f(a)])/(x-a)=lim _(x→ a)G[f(x)]· F(x)

因为可微则必连续（根据乘法的极限性质），所以 f 于 a 连续、 G 于 f(a) 连续，故根据上面的极限定理有 lim _(x→ a)G[f(x)]=g^(′)[f(a)]

而且针对一开始可微的前提有 lim _(x→ a)F(x)=f^(′)(a)

再根据乘法的极限性质有 lim _(x→ a)(g(y)-g[f(a)])/(x-a)=g^(′)[f(a)]· f^(′)(a)

即为所求。 （公式略）

多元复合函数求导法则

考虑函数 z=f(x,y)，其中 x=g(t)， y=h(t)， g(t) 和 h(t) 是可微函数，那么： （公式略）

假设 z=f(u,v) 的每一个自变量都是二元函数，也就是说， u=h(x,y)， v=g(x,y)，且这些函数都是可微的。那么， z 的偏导数为： （公式略）

∂ （公式略）

如果我们考虑 r=(u,v)

为一个向量函数，我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与 r 的偏导数的数量积： （公式略）

更一般地，对于从向量到向量的函数，求导法则为： （公式略）

高阶导数

• 复合函数的最初几个高阶导数为： (d(f∘ g))/dx=df/dgdg/dx
• （公式略）
• （公式略）
• （公式略）