高斯散度定理

更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面围起来的体积上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出这区域的净流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于分部积分法。

定理

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起来的三维区域，函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在 Ω 上具有一阶连续偏导数，则有 （公式略）

• ∯ （公式略）
• Σ Σ
• 或 （公式略）
• ∯ （公式略）
• Σ Σ
• ( (Pcos α +Qcos β +Rcos γ) d S

这里 Σ 是 Ω 的边界（boundary）， cos α,cos β,cos γ 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量的方向余弦。

这两个公式都叫做高斯公式，不过这两公式仅仅是表达方式不同，其实是相同的定理，这可以用变数变换得到两公式的右边都等于 （公式略），其中 n 是曲面 Σ 的向外单位法向量。

这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

用散度表示

• 高斯公式用散度表示为： （公式略）
• ∯ （公式略）
• Σ Σ

F · n d S.

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 n 是曲面Σ上的朝外的单位法向量。

用向量表示

令V代表有一简单闭曲面S为边界的体积， F 是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果 dS 是外法向向量面元，则 ∫ _(S)F · d S =∫ _(V)∇ · F d V

推论

• 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得： （公式略）
• 对于两个向量场 F × G 的向量积，应用高斯公式可得： （公式略）
• 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得： （公式略）
• 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得： （公式略）

例子

• 假设我们想要计算 （公式略）
• S
• F · n d S,
• 其中S是一个单位球面，定义为 （公式略）

F是向量场 F =2xi +y²j +z²k.

• 直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化： （公式略）
• 其中W是单位球: （公式略）
• 由于函数y和z是奇函数，我们有： （公式略）
• 因此： （公式略）
• S
• （公式略）

因为单位球W的体积是4π/3.

二阶张量的高斯公式

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

两个向量 a 和 b 并排放在一起所形成的量 ab 被称为向量 a 和 b 的并矢或并矢张量。要注意，一般来说， ab≠ ba。 ab=0 的充分必要条件是 a=0 或 b=0。

二阶张量就是有限个并矢的线性组合。 ab 分别线性地依赖于 a 和 b。

二阶张量 T 和向量 a 的缩并 T · a 以及 a· T 对 T 和 a 都是线性的。

特别是，当 T =uv 时， T · a=(uv)· a=u(v· a), a· T =a· (uv)=(a· u) v,

所以，一般说来， T · a≠ a· T。

下面举一个例子：用二阶张量及其与向量的缩并来重新写 (a× b)× c 和 a× (b× c)。 （公式略）

我们还用到二阶张量 T 的转置 T ' （又可以记为 T ^(t)），定义如下： T ' 仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于 T。 (uv)'=vu。

定理：设 V 是三维欧几里得空间中的一个有限区域， S 是它的边界曲面， （公式略） 是 S 的外法线方向上的单位向量， T 是定义在 V 的某个开邻域上的 C¹ 连续的二阶张量场， T ' 是 T 的转置，则 （公式略）

• 证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为 F，则 （公式略）
• 接下来利用向量场的高斯公式，可得 （公式略）
• 于是 （公式略）

至此证毕。