莱布尼茨行列式公式

另一种常见的，物理学家可能更熟悉的记号是依据列维-奇维塔符号并利用爱因斯坦求和约定将公式表示为 det (A)=ε ᵢ₁,…,iₙa₁,i₁⋯ aₙ,iₙ.

因为 n! 是 n 阶置换的数量，直接根据定义计算莱布尼茨公式一般需要 Ω (n!· n) 步。换言之，运算次数与 n 的阶乘渐进成比例。即使对较小的 n 来说，此方法也是困难、不明智且不可行的。另一策略是通过高斯消元法或类似方法利用LU分解 A=LU 在 O(n³) 步内计算行列式，此时 det (A)=det (L)· det (U)，并且三角阵 L 和 U 的行列式仅为其对角项之积。（但是在数值线性代数的实际应用中很少需要显式计算行列式）。参见脚注。通过矩阵乘法可以简化行列式的计算，使其用少于 O(n³) 步就可以计算，但是这些算法中的大多数是不实用的。

正式陈述和证明

唯一性

令 F 为定理中所言的映射， （公式略） 是 n× n 矩阵。用 Aⱼ 表示 A 的第 j 列，换言之 Aⱼ=(a₁ⱼ,a₂ⱼ,…,aₙⱼ)ᵀ，因此 A=(A₁,A₂,…,Aₙ)。

同时，令 eₖ 表示 (0,…,1,…,0)ᵀ，其中 1 在第 k 位，也就是单位矩阵的第 k 个列向量。

现在用 eₖ 表示 Aⱼ 的项： Aⱼ=∑ ₖ₌₁ⁿaₖⱼeₖ j=1,2,…,n.

由于 F 是多线性的，可得 F(A)=F(∑ ₖ₌₁ⁿaₖ₁eₖ,…,∑ ₖ₌₁ⁿaₖₙeₖ)=∑ ₖ₁=1ⁿ⋯ ∑ ₖₙ=1ⁿF(eₖ₁,…,eₖₙ)∏ ᵢ₌₁ⁿaₖᵢi.

由交替性，上式中求和指标相同（即存在 1≤ p<q≤ n 使 kₚ=k_(q)）的项皆为零。因此该和的求和指标一定是无重复的元组，即置换： F(A)=∑ _σ ∈ SₙF(e_(σ (1)),…,e_(σ (n)))∏ ᵢ₌₁ⁿa_(σ (i)i).

因为 F 是交替的，因此可以通过对换列 eₖ 得到单位矩阵。符号 sgn (σ) 定义为必要的对换的数量和由此产生的符号变化。最终得到： （公式略） 因为 F(I)=1。

因此除了莱布尼茨公式定义的映射，其余映射皆不是 F(I)=1 的交替多线性映射。

这一定义方式也称为行列式的公理化定义。

存在性

现在证明由莱布尼茨公式定义的 F 有以下三条性质。

多线性

设 （公式略），并设 Aₖ=λ 'A'ₖ+λ ''A''ₖ，其中撇号指出了辅助矩阵 A'=(A₁,…,Aₖ₋₁,A'ₖ,Aₖ₊₁,…,Aₙ),

A''=(A₁,…,Aₖ₋₁,A''ₖ,Aₖ₊₁,…,Aₙ). 根据条件 aⱼₖ=λ 'a'ⱼₖ+λ ''a''ⱼₖ, j=1,2,…,n.

F(A) 关于第 k 列的元素的线性可以给出下述论断。由定义 （公式略） 其中 p_(σ) 不依赖于列 Aₖ 的元素。将求和指标满足 σ (k)=j,σ ∈ Sₙ 的 p_(σ) 合并同类项，并设 α ⱼ=∑ _(σ (k)=j)p_(σ)，我们就得到了所需的多线性 （公式略） 简言之： F(A)=λ 'F(A')+λ ''F(A'').

因此 F 满足多线性。

交替性

设 A' 是由 A 交换列 Aₛ,Aₜ 得到的矩阵，也就是说 A'ₛ=Aₜ,A'ₜ=Aₛ，若 j≠ s,t 则 A'ⱼ=Aⱼ。将任意置换 π ∈ Sₙ 写成 π =σ τ 的形式，其中 τ =(st) 是一个对换（参见），我们有 （公式略）

进一步地，若 Aₛ,Aₜ 两列相同，则将其交换后有 A'=A。于是 F(A)=F(A')=-F(A)，因此 F(A)=0。因此 F 满足交替性。

单位矩阵的行列式为一

最后， F(I)=1： （公式略）

小结

因此唯一满足 F(I)=1 交替多线性映射刻画了莱布尼茨公式定义的映射，并且该映射实际上也具有这三条性质。因此行列式可以定义为具有这三条性质的唯一映射 （公式略）。