交错级数判别法

百科正文

具有以下形式的级数 ∑ ₙ₌₀^(∞)(-1)ⁿaₙ

其中所有的an 非负，被称作交错级数，如果当n趋于无穷时，数列an的极限存在且等于0，并且每个an小于或等于an-1（即，数列an是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和 ∑ ₙ₌₀^(∞)(-1)ⁿaₙ=L

那么部分和 Sₖ=∑ ₙ₌₀^(k)(-1)ⁿaₙ

逼近L有截断误差 |Sₖ-L| ≤ |Sₖ-Sₖ₋₁| =aₖ

证明

我们假设级数具有形式 ∑ ₙ₌₀^(∞)(-1)ⁿaₙ ．当 n 趋于无穷时，数列 aₙ 的极限等于0，并且每个 aₙ 小于或等于 aₙ₋₁ （即 aₙ 是单调递减数列）．

收敛性证明

给定数列前 (2n+1) 项的部分和 S₂ₙ₊₁=a₀+(-a₁+a₂)+(-a₃+a₄)+… +(-a₂ₙ₋₁+a₂ₙ)-a₂ₙ₊₁ ．由于每个括号内的和非正，并且 a₂ₙ₊₁≥ 0，那么前 (2n+1) 项的部分和不大于 a₀.

并且每个部分和可写做 S₂ₙ₊₁=(a₀-a₁)+(a₂-a₃)+… +(a₂ₙ-a₂ₙ₊₁) ．每个括号内的和非负．因此，级数 S₂ₙ₊₁ 单调递增：对任何 n∈ N 均有： S₂ₙ₊₁≤ S₂ₙ₊₃.

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数 s 使得 lim _(n→ ∞)S₂ₙ₊₁=s.

由于 S₂ₙ=S₂ₙ₊₁-a₂ₙ₊₁ 并且 lim _(n→ ∞)aₙ=0，那么 lim _(n→ ∞)S₂ₙ=s ．给定数列的和为 lim _(n→ ∞)S₂ₙ=lim _(n→ ∞)S₂ₙ₊₁=s，其中 s 为有限数，从而数列收敛．

部分和截断误差的证明

在收敛性的证明过程中，我们发现 S₂ₙ₊₁ 是单调递增的．由于 S₂ₙ=a₀+(-a₁+a₂)+… +(-a₂ₙ₋₁+a₂ₙ)，并且括号中的每一项是非正的，这样可知 S₂ₙ 是单调递减的．由先前的论述， lim _(n→ ∞)S₂ₙ=L，因此 S₂ₙ≥ L ．类似的，由于 S₂ₙ₊₁ 是单调递增且收敛到 L，我们有 S₂ₙ₊₁≤ L ．因此我们有 S₂ₙ₊₁≤ L≤ S₂ₙ 对所有的n均成立．

因此如果k是奇数我们有 |L-Sₖ|=L-Sₖ≤ Sₖ₊₁-Sₖ=aₖ₊₁≤ aₖ，而如果k是偶数我们有 |L-Sₖ|=Sₖ-L≤ Sₖ-Sₖ₋₁=aₖ ．