层1947

研究层的数学领域叫做层论（sheaf theory）。

从概念上讲，层是比较一般、抽象的数学对象，其正确定义是相当技术性的。例如，根据分配给开集的数据类型，可分为集合层、环层等。

相同类型的层之间可以定义映射（或称态射），这使得（同类型的）层构成了一个范畴。另一方面，每个连续映射都关联着直像函子（将定义域上的层与态射送到到达域的层与态射）和反像函子（代表相反的运算）。这些函子及其部分变体是层论的重要组成部分。

层由于其普遍性与多功能性，在拓扑学，特别是代数几何与微分几何中有多种应用。

微分流形或概形等的几何结构可用空间上的环层表示。这时，向量丛与除子等几何结构都可很自然地用层表示。

层为非常一般的上同调论提供了框架，其中也包括“通常”的拓扑上同调论，如奇异上同调。特别是在代数几何与复流形理论中，层上同调为空间的拓扑与几何属性提供了有力的联系。

层提供了D模理论的基础，进而为微分方程理论找到了应用。

可将层推广到比拓扑空间更一般的场景，如格罗滕迪克拓扑，为数理逻辑和数论提供了应用。

定义与例子

在很多数学分支中，很多定义在拓扑空间X上的结构（如微分流形）可很自然地“局部化”或“限制到”开子集 U⊂ X：典型例子如连续实值或复值函数、n次可微函数、有界实值函数、向量场、空间上任意向量丛的截面等等。将数据限制在更小开子集上的能力产生了预层（presheaf）的概念，粗略地说就是局部数据可粘合到全局数据。

预层

设X为拓扑空间，C是范畴（常是集合范畴、交换群范畴、交换环范畴，或固定的环上的模范畴)。C中的物件在空间X上的预层（presheaf） F 由如下数据给出：

对每个开子集 U⊂ X， F 给出一个C中的物件 F(U)，也记作 Γ (U,F)。这个物件称作 F 在 U 上的截面（section）， F 在 X 上的截面称作 F 的全局截面（global section）。

对于每个开集之间的包含关系 V⊆ U，有范畴C中的一个态射 res _(V,U): F(U)→ F(V)，称为限制态射。若 s∈ F(U)，则 res_(V,U)(s) 常类比以函数限制的写法，记作 s|_(V)。限制态射满足以下两点性质：

对于X中每个开集U，我们有 res _(U,U)=id _(F(U))，也即，从U到U的限制是F(U)上的恒等态射。

给定任何三个开集 W⊆ V⊆ U，有 res_(W,V)∘ res_(V,U)=res_(W,U)，即从U到V再到W的限制和从U直接到W的限制相同。

态射

令F和G为X上两个层，都在范畴C中取值。我们定义从G到F的态射为一族在范畴C内对于所有在X中的开U的态射 φ _(U): G(U)→ F(U)，它们和限制映射可交换。也就是，下面的图必须可交换

对于X中的每一对开集 U⊆ V。若F和G视为 Top_(X)→ C 的反变函子，则它们之间的态射不过就是自然变换。采用这个定义，所有X上的C-值层构成一个范畴（一个函子范畴）。X上的层的一个同构就是这个范畴里的一个同构。

可以把这个概念推广到不同空间上的层之间的态射。令 f: X→ Y 为一个两个拓扑空间之间的连续函数，并令F为X上的层且G为Y上的层，二者都在C中取值。那么从G到F的相对于f的态射为一族态射 varphi_(U): G(U)→ F(f⁻¹(U)) 对于Y中每个开集U，使得图

对于Y中每一对开集 U⊆ V 可交换。前面的定义是f是X上的恒等映射时的特殊情况。

在一般情况中范畴理论的表述稍微复杂一点。令Top为从拓扑空间范畴Top到小范畴范畴Cat的反变函子，它把每个拓扑空间X映到其开集的偏序集范畴 Top_(X)。这里 Top(f): Top_(X)→ Top_(X) 是反变函子，把每个开集映到它的原象。把F和Top(f)复合，得到 Top_(Y)→ C 的反变函子。一个从G到F相对于f的态射就是 G→ F∘ Top(f) 的自然变换。

注意上面所有这些对于预层也成立。

补

更一般范畴中的层

上述（预）层的 F(U) 只是集合，很多时候跟踪界面上的附加结构也很重要。例如，连续函数层的截面自然形成了实向量空间，限制是其间的线性映射。

在任意范畴C中取值的预层是这样定义的：将X上的开集范畴视作偏序范畴 O(X)，其对象是X的开集，态射是包含。则，X上的C值预层等同于 O(X)→ C 的反变函子。这函子范畴中的态射（也称作自然变换）与上面定义的态射相同，由定义自明。

其中第一个映射是下面的限制映射之积： res _(U)ᵢ,U: F(U)→ F(Uᵢ)

那对箭头是两组限制集之积： res _(U)ᵢ∩ Uⱼ,Uᵢ: F(Uᵢ)→ F(Uᵢ∩ Uⱼ)

及 res _(U)ᵢ∩ Uⱼ,Uⱼ: F(Uⱼ)→ F(Uᵢ∩ Uⱼ).

若C是阿贝尔范畴，则这条件也可改写为要求有正合序列 （公式略）

这层条件的特殊情形是：U是空集，索引集I也是空集。这时层条件要求 F(∅) 是C中的终对象。

赋环空间与模层

在代数几何与微分几何等学科中，空间伴随着环的自然层，常称作结构层，记作 O_(X)。这样的对子 (X,O_(X)) 称作赋环空间。很多种空间都可定义为某种赋环空间。通常，结构层的所有茎 O_(X,x) 都是局部环，这时称作局部赋环空间。

例如，n维 C^(k) 流形M是局部赋环空间，其结构层包含M的开子集上的 C^(k) 函数。局部赋环空间的性质，意味着x点非零的函数在x的足够小的开邻域上也非零。有人将实（或复）流形定义为局部赋环空间，且局部同构于 R ⁿ （或 C ⁿ）的开子集及 C^(k) （或全纯）函数的层组成的对子。

层的平展空间

上面的例子中可以观察到，有些层是以截面层的形式自然出现的。实际上，集合的所有层都可表为拓扑空间的截面层，前者即是平展空间。

层论发展的早期，就证明了给定层X上的F和给定一个特定拓扑空间E以及一个从E到X的连续函数一样。更精确的讲：对于一个X上的集合层F，存在一个局域同胚

π: E → X

使得F和上节例子中所述的π的截面层同构。

进一步的有，空间E是确定的，最多差一个F的同胚。这是F的茎空间：每个茎给了离散拓扑，并且我们取所有茎的不交并，而π把所有的茎Fx映射到x。这个茎的空间的拓扑可以取为这样一个拓扑，它使得层F可以从π截面的层中重建出来。

在高一级的抽象中，我们可以说X上的集合的层的范畴是等价于到X的局部同胚的范畴的。（也可以从可表示函子的理论的角度来考虑这样一个空间；历史表明这个理论也在1950年代中期发展出来）。

在Godement的深具影响的关于同调代数和层论的书中（Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux, R. Godement），空间E被称为平展空间（espace étalé）；在那本书中，层事实上定义为从局部同胚的截面得到；上面给出的函子方式的定义后来才出现，但现在更为普遍。

上面的考虑对于X上的C层也成立：我们还是从茎的空间出发，每个茎是C中的一个对象，而截面自然也成为C中的对象。

层上同调

在开集U固定、层被视为变量的情形中，集合 F(U) 也常表示为 Γ (U,F).

如上所述，这函子并不保留满态射，层满态射 F→ G 是具有以下性质的映射：对任意截面 g∈ G(U)，有覆盖 （公式略），其中 （公式略） 的开子集，使限制 g|_(U)ᵢ 在 F(Uᵢ) 的像中；但g本身不一定在 F(U) 的像中。这种现象的一个具体例子是全纯函数层与非零全纯函数间的指数映射 （公式略）

这映射是满态射，相当于说，任意非零全纯函数g（如在某C的开子集上）允许局部的复对数，即将g限制到适当的开子集后，有复对数。不过g不一定有全局对数。

层上同调捕捉到了这一现象：对阿贝尔群层正合序列 0→ F₁→ F₂→ F₃→ 0,

（即满态射 F₂→ F₃，核是 F₁），有长正合序列 0→ Γ (U,F₁)→ Γ (U,F₂)→ Γ (U,F₃)→ H¹(U,F₁)→ H¹(U,F₂)→ H¹(U,F₃)→ H²(U,F₁)→ … 通过序列，第一上同调群 H¹(U,F₁) 是 F₂, F₃ 截面之间映射的非满射性的度量。

有几种不同方法构造层上同调。Grothendieck (1957)将其定义为 Γ 的导出函子，这方法在理论上很令人满意，但由于基于单射消解，在具体计算中用处不大。Godement消解是另一种通用但实际无法使用的方法。

景与意象（拓扑斯）

安德烈·韦伊的韦伊猜想认为，有限域上的代数簇有一种上同调论，可给出黎曼猜想的类似理论。复流形的上同调可定义为欧氏拓扑中局部常层 （公式略） 的层上同调，这意味着将正示性的韦伊上同调论定义为常层的层上同调。但是，这样的簇上唯一的经典拓扑是扎里斯基拓扑，其开集非常少，以至于不可约簇上任何扎里斯基常层的上同调都为零。亚历山大·格罗滕迪克通过引入格罗滕迪克拓扑解决了这问题，其公理化了“覆叠”的概念。格罗滕迪克的独到见解是，层的定义只取决于拓扑空间的开集，而非单个点。公理化了覆叠的概念，就可以把开集换成其他对象。预层可把每个对象作为数据，而层就是在新覆叠概念下满足粘合公理的预层。这使得格罗滕迪克能定义平展上同调和ℓ进上同调，最终用于证明韦伊猜想。

具有格罗滕迪克拓扑的范畴叫做景（site）。景上的层范畴称作意象（topos，或音译拓扑斯）或格罗滕迪克意象。意象的概念后来被William Lawvere和Miles Tierney抽象化，以定义基本意向，与数理逻辑有关。

历史

层论最初的起源很难确认—它们可能和解析延拓的思想共存。可以识别的独立的层论才从上同调的基础工作中出现大约花了15年的时间。

1936年爱德华·切赫引入神经（Nerve）构造，以将一个单纯复形关联到一个开覆盖。

1938年Hassler Whitney给出上同调的一个'现代'定义，归纳了自J. W. Alexander和Kolmogorov首次定义余链（cochain）以来的工作。

1943年诺曼·斯廷罗德发表了关于带局部系数的同调类的工作。

1945年让·勒雷发表了作为POW进行的工作，由应用到偏微分方程理论的不动点定理的证明作为其动机；它是层论和谱序列的开始。

1947年昂利·嘉当在和安德烈·韦伊的通信中用层的方法重新证明了德拉姆定理。勒雷在他的课程中通过闭集（后来的壳（carapaces）)给了一个层的定义。

1948年嘉当研讨班首次写下层论

1950年嘉当研讨班的层论'第二版':使用了层空间（éspace étalé，平展空间）的定义，采用茎方面的结构。支集和有支集的上同调被引入。连续映射导致了谱序列。同时冈洁在多复变量中引入和理想的层相似的思想。

1951年嘉当研讨班基于冈洁的工作证明了定理A和B]。

1953年凝聚层的有限性定理在解析理论中由卡当和塞尔证明，塞尔对偶性也得到了证明。

1954年塞尔的论文Faisceaux algébriques cohérents（发表于1955年）把层引入代数几何。这些思想很快为Hirzebruch所采用，他在1956年写了一本拓扑方法的重要著作。