范畴1945

定义

范畴

一个范畴 C 意指资料 (Ob C,Mor C;∘)，其中：

一个由对象（Object）所构成的类 Ob C；

对象间的态射（Morphism）所构成的类 Mor C。每一个态射 f∈ Mor C 均蕴含确定的“始对象（Domain）” A 和“终对象（Codomain）” B，且 A,B∈ Ob C。此时记 f: A→ B，称 f 为从 A 到 B 的一个态射。所有由 A 至 B 的态射构成类，记作 Hom _(C) (A,B)，不致混淆时，也记作 Hom (A,B)；

对任意态射对 (A,B) 有态射复合 ∘ 如下： （公式略）

其中， g∘ f 在不致混淆时也记作 gf。

此态射复合满足下列公理：

（结合律）对态射 f: A→ B， g: B→ C 和 h: C→ D，有 h(gf)=(hg)f；

（幺元）对任意对象 X，存在一态射 1_(X)∈ Hom (X,X)，使得对任意态射 f∈ Hom (A,B)，均满足 1_(B)f=f=f1_(A)。态射 1_(X) 称作“ X 的单位态射”。

根据上述公理可以证明，对每个特定对象而言，单位态射具唯一性。在这样的等价关系上，部分作者视对象与其单位态射为同一概念。

显然， Mor C 和 Ob C 间自然地存在三个映射： （公式略）， （公式略）， （公式略），如图 1 所示。

小范畴和局部小范畴

一个范畴 C 称作小范畴（Small Category），当且仅当其态射类 Mor C 比真类小，即仅有集合那么大。

一个范畴 C 称作局部小范畴（Locally Small Category），当且仅当对任意对象对 (A,B)∈ (Ob C)²，其对应的的态射类 Hom _(C) (A,B) 均为非真类的集合。

数学研究中，许多重要的范畴（例如集合的范畴），通常即使非小，也是局部小的。

范畴举例

每一范畴都可由其物件、态射和态射复合来表示。

所有集合的范畴 Set，其态射为集合间的函数，而态射复合则为一般的函数复合。

所有预序关系的范畴 Ord，其态射为单调函数。

所有原群的范畴 Mag，其态射为原群间的同态。

所有群的范畴 Group，其态射为群同态。

所有阿贝尔群的范畴 Ab，其态射为群同态。

所有环的范畴 Ring，其态射为环同态。

所有于体 k （维持固定）上的向量空间的范畴 Vect_(k)，其态射为线性映射。

所有拓朴空间的范畴 Top，其态射为连续函数。

所有度量空间的范畴 Met，其态射为度量映射。

所有一致空间的范畴 Uni，其态射为一致连续函数。

所有光滑流形的范畴 Man^(p)，其态射为 p 次连续可微映射。

所有小范畴的范畴 Cat，其态射为函子。

所有局部小范畴的范畴 CAT。

所有集合的关系范畴 Rel，其态射为关系。

任一预序集 （公式略） 均蕴含一个小范畴，其对象为 P 的元，态射为有序对 (p,q) 使得 （公式略）。

任一幺半群 M 均蕴含一个携唯一一个对象 x 的小范畴 BM。 BM 以 M 中的元作为态射，每个态射各自表示 x 上一个不同的自同态，而态射复合由 M 的乘法给出。 M 的幺元 e∈ M 也作为 BM 这唯一一个对象的单位态射存在。可以将范畴这一概念视作幺半群之延伸概念。

任意有向图蕴含一个自然的小范畴，以图的顶点为对象，有向路径为态射，路径串联为态射复合。这被称作由有向图产生的“自由范畴”。

若I是一个集合，“在I上的具体范畴”会是个小范畴，其物件为I的元素，而态射则只有单位态射。当然，其态射复合的公理是必然满足的。

态射类型

一个态射 f: a→ b 被称为：

同构（Isomorphism），当且仅当存在态射 g: b→ c，满足 gf=1ₐ, fg=1_(b)，换言之，存在逆；

自态射（Endomorphism），当且仅当 b=a，即 f 是从 a 到 a 自身的态射；

自同构（Automorphism），当且仅当 f 同时为同构与自态射；

单态射（Monomorphism），当且仅当对任意态射 h,k∈ Hom (x, a)， fh=fk 均蕴含 h=k；

满态射（Epimorphism），当且仅当对任意态射 h,k∈ Hom (b, x)， hf=kf 均蕴含 h=k； g: b→ a 的截面（Section），当且仅当 gf=1ₐ，也称作 g 的右逆（Right Reverse）或分裂单态射（Split Monomorphism）； g: b→ a 的收缩（Retraction），当且仅当 fg=1_(b)，也称作 g 的左逆（Left Reverse）或分裂满态射（Split Epimorphism）；

也记 a 上的所有自态射构成类 End a，所有自同构构成类 Aut a。

下述三个命题是等价的： f 是单态射且是收缩。 f 是满态射且是截面。 f 是同构。

态射之间的关系（例如 fg=h）可以非常方便地表示为交换图表，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

特别的范畴

子范畴

给定一个范畴 C，称范畴 D 为 C 之子范畴（Subcategory），当且仅当： Ob D⊆ Ob C， Mor D⊆ Mor C，

同时，态射复合仍然保持。

群胚

称 C 为一群胚（Groupoid），当且仅当其中所有态射为同构。

群可被定义作具唯一一个对象的群胚；

任意范畴 C 均内含一个最大群胚（Maximal Groupoid），为包含全部 C 的对象，而包含且仅包含全部自态射作为态射的子范畴。

对偶范畴

令 C 为一范畴，规定其对偶范畴 C^(op) 如下：

以 Ob C 为 Ob C^(op)；

由如下从 Mor C 到 Mor C^(op) 的一一对应函子完全生成后者： （公式略）

其中满足： ∀ f,g∈ Mor C,(f∘ _(C)g)^(op):=g^(op)∘ _(C^(op))f^(op)。

利用对偶范畴可证明如下的对偶定理：

定理：下列三条定理等价： f: x→ y 为范畴 C 中的一个同构（双态射）；

对所有对象 c∈ Ob C， f 上的后复合定义了双射 f_(*): Hom (c,x)→ Hom (c,y)；

对所有对象 c∈ Ob C， f 上的前复合定义了双射 f^(*): Hom (y,c)→ Hom (x,c)；

积范畴

• 对任意范畴 C 和 D，定义其积范畴 C× D 如下：
• 以形如 (c, d) 的有序对为对象，其中 c∈ Ob C, d∈ Ob D，
• 以形如 (f, g): (c, d)→ (c', d') 的有序对为态射，同时

结合律与单位态射也如此被逐分量定义。

逗号范畴

给定函子 F: D→ C, G: E→ C，定义其逗号范畴 （公式略） 如下：

以有序三元组 (d, e, f: Fd→ Ge)∈ Ob D× Ob E× Mor C 为对象，

以有序对 (h: d→ d', k: e→ e')∈ Mor D× Mor E 为态射，使得对于每个 (h, k): (d, e, f)→ (d', e', f')，图 2 在 C 中交换， 即：使得 f'∘ Fh=Gk∘ f。

范畴类型

在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合 Hom (a, b) 不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预可加范畴。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和上积，那么我们称之为可加范畴。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。

范畴是完备的当其拥有所有极限。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。

范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。

拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。