赫尔德不等式

设 S 为测度空间， 1≤ p,q≤ ∞，及 （公式略），设 f 在 L^(p)(S) 内， g 在 L^(q)(S) 内。则 f g 在 L¹(S) 内，且有 ‖fg‖₁≤ ‖f‖ₚ‖g‖_(q),

等号当且仅当 |f|^(p) 与 |g|^(q) （几乎处处）线性相关时取得，即有常数 α,β 使得 α |f(x)|^(p)=β |g(x)|^(q) 对几乎所有 x∈ S 成立。

若 S 取作 （公式略） 附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数） x₁,..., xₙ; y₁,..., yₙ，有 ∑ ₖ₌₁ⁿ|xₖyₖ|≤ (∑ ₖ₌₁ⁿ|xₖ|^(p))^(1/p)(∑ ₖ₌₁ⁿ|yₖ|^(q))^(1/q)。

上式等号成立的充要条件是 |x₁|:|x₂|:⋯:|xₙ|=|y₁|:|y₂|:⋯:|yₙ|，而我们称 p 和 q 互为赫尔德共轭。

若取 S 为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。

当 p=q=2，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫尔德不等式可以证明 L^(p) 空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明 L^(p) 空间是 L^(q) 空间的对偶。

证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果 （公式略），那么 f

μ μ -几乎处处为零，且乘积 fg

μ μ -几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果 （公式略） 也是这样。因此，我们可以假设 （公式略） 且 （公式略）。

如果 （公式略） 或 （公式略），那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设 （公式略） 和 （公式略） 位于 (0,∞) 内。

如果 p=∞ 且 q=1，那么几乎处处有 （公式略），不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于 p=1 和 q=∞，情况也类似。因此，我们还可以假设 p,q∈ (1,∞)。

分别用 f 和 g 除 （公式略），我们可以假设： ‖f‖ₚ=‖g‖_(q)=1.

我们现在使用杨氏不等式： （公式略）

对于所有非负的 a 和 b，当且仅当 a^(p)=b^(q) 时等式成立。因此： （公式略）

两边积分，得： ‖fg‖₁≤ 1,

这便证明了赫尔德不等式。

在 p∈ (1,∞) 和 （公式略） 的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有 |f|^(p)=|g|^(q)。更一般地，如果 （公式略） 和 （公式略） 位于 (0,∞) 内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在 α,β >0 （即 （公式略） 且 （公式略）），使得： α |f|^(p)=β |g|^(q)

μ μ -几乎处处 (*) （公式略） 的情况对应于(*)中的 β =0。 （公式略） 的情况对应于(*)中的 α =0。

反向赫尔德不等式

当 0<p<1 时， ‖· ‖ₚ 不再满足三角不等式，此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality): ‖fg‖₁≥ ‖f‖ₚ‖g‖_(q)