巴塞尔问题1650

这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和，也就是以下级数的和： （公式略）

这个级数的和大约等于1.644934（OEIS数列A013661）。巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，并证明它是正确的。欧拉发现准确值是 （公式略），并在1735年公布；彼时他给出了一个错误的证明，真正严密的证明在1741年给出。

收敛性证明

利用放缩法可以简便地证明级数 （公式略） 有界，并由单调收敛定理得到收敛性。

注意到 ∀ n∈ N ^(*) 且 （公式略）， （公式略）。故 （公式略）

故 （公式略）。

欧拉的错误证明

欧拉最初推导 （公式略） 的方法是聪明和新颖的。他假设有限多项式的性质对于无穷级数也是成立的。然而，欧拉没有证明此一假设，且此一假设在一般情况下也是错误的。不过他计算了级数的部分和后发现，级数确实趋近 （公式略），不多不少。这给了他足够的自信心，把这个结果公诸于众。

欧拉的方法是从正弦函数的泰勒级数展开式开始： （公式略）

两边除以 x，得： （公式略）

现在， (sin x)/x=0 的根出现在 x=n· π，其中 n=± 1,± 2,± 3,… 我们假设可以把这个无穷级数表示为线性因子的乘积，就像把多项式因式分解一样： （公式略）

如果把这个乘积展开，并把所有有 x² 的项收集在一起，我们可以看到， (sin x)/x 的二次项系数为： （公式略）

但从 (sin x)/x 原先的级数展开式中可以看出， x² 的系数是 -1/(3!)=-1/6。这两个系数一定是相等的；因此， （公式略）

等式两边乘以 -π ² 就可以得出所有平方数的倒数之和。 （公式略）

黎曼ζ函数

黎曼ζ函数ζ(s)是数学中的一个很重要的函数，因为它与素数的分布密切相关。这个函数对于任何实数部分大于1的复数s都是有定义的，由以下公式定义： （公式略）

取s = 2，我们可以看出ζ(2)等于所有平方数的倒数之和： （公式略）

用以下的等式，可以证明这个级数收敛： （公式略）

因此ζ(2)的上界小于2，因为这个级数只含有正数项，它一定是收敛的。可以证明，当s是正的偶数时，ζ(s)可以用伯努利数来表示。设 s=2n，有以下公式： （公式略）

严密的证明

以下介绍了一个 （公式略） 的证明。它是目前已知最基本的证明，大部分其它的证明都需要用到傅里叶分析、复分析和多变量微积分，但这个证明连一元微积分也不需要（在证明的最后部分需要使用极限的概念）。

• 考虑面积， 1/2r²tan θ >1/2r²θ >1/2r²sin θ
• tan tan θ >θ >sin θ
• 1/(tan θ)<1/(θ)<1/(sin θ)
• cot （公式略）

这个证明的想法是把以下的部分和固定在两个表达式之间，这两个表达式当m趋于无穷大时都趋于 （公式略）。 （公式略）

这两个表达式从余切和余割的恒等式推出。而这些恒等式则从棣莫弗定理推出。

设x为一个实数，满足0 < x < π/2，并设n为正整数。从棣莫弗定理和余切函数的定义，可得： （公式略）

• 根据二项式定理，我们有： （公式略）
• = （公式略）
• 把两个方程合并，由于相等的两个复数的虚数部分也一定相等，因此有： （公式略）

固定一个正整数m，设n = 2m + 1，并考虑xr = r π/(2m + 1)对于r = 1、2、……、m。那么nxr是π的倍数，因此是正弦函数的零点，所以： （公式略）

对于所有的r = 1、2、……、m。x1、……、xm是区间(0, π/2)内不同的数。由于函数cot2 x在这个区间内是一一对应的，因此当r = 1、2、……、m时，tr = cot2 xr的值各不同。根据以上方程，这些m个"tr"是以下m次多项式的根： （公式略）

根据韦达定理，我们可以直接从这个多项式的头两项计算出所有根的和，因此： （公式略）

把恒等式csc2 x = cot2 x + 1代入，可得： （公式略）

现在考虑不等式cot2 x < 1/x2 < csc2 x。如果我们把对于xr = r π/(2m + 1)的所有不等式相加起来，并利用以上的两个恒等式，便可得到： (2m(2m-1))/6<((2m+1)/(π))²+((2m+1)/(2π))²+⋯ +((2m+1)/(mπ))²<(2m(2m+2))/6

把不等式乘以(π/(2m + 1))2，便得： （公式略）

当m趋于无穷大时，左面和右面的表达式都趋于 （公式略），因此根据夹挤定理，有： （公式略）

证毕。

二重积分的证明

首先考虑二重积分 （公式略） 的级数展开形式，其中区域D1为x∈(0,1)且y∈(0,1)的正方形区域： （公式略）

接下来考虑做如下变换： （公式略）

相当于将正方形区域D1旋转45°之后变成D2，但仍然保持其形状与面积，其中正方形D2的四个顶点在(u,v)下的坐标分别是 (0,0)、 (1/√2,-1/√2)、 (√2,0)、 (1/√2,1/√2)： （公式略）

最后一行用到的是偶函数的性质化简积分，并且将加号前后的两个积分（包括前面的系数）简记为I1与I2。先计算I1，下面变量代换设 u=√2sin θ，则有 d u=√2cos θ d θ： （公式略）

类似地，再计算I2，下面变量代换设 u=√2cos θ，则有 d u=-√2sin θ d θ，并且交换积分上下限从负号变回正号： （公式略）

最终可以得到： （公式略）

证毕。

傅里叶级数的证明

设有函数 f(x)=x，其定义域为 x∈ (-π,π)。这个函数的傅里叶级数是： （公式略）。

根据帕塞瓦尔恒等式，我们有： （公式略）

因此 （公式略）

证毕。