昂利·勒贝格1875—1941

生平

1875年6月28日，亨利·勒贝格出生于法国瓦兹省博韦。勒贝格的父亲是排字员，在勒贝格小时便因肺结核病逝，靠勒贝格的母亲一人支撑家庭。勒贝格的健康也不太好。勒贝格的母亲是一名老师。他在家中从小就能接触到许多书籍。后来他在上小学时表现出数学天赋，他的一位指导老师和社区协商，先后资助他去博韦中学（法语：Collège de Beauvais）、圣路易高中（法语：Lycée Saint-Louis）和路易大帝高中读书。

1894年，他入读巴黎高等师范学院，1897年取得文凭，在校期间受到博雷尔思想的影响。后来，他在图书馆读到贝尔关于不连续函数的著作，认为这方面大有发展。

1899年勒贝格在南锡中央中学担任教师，业余研究实变函数理论。1902年在埃米尔·博雷尔指导下提交了博士论文《积分，长度和面积》，获得索邦大学博士学位，此论文创立了勒贝格积分理论。

1902年起，勒贝格先后在雷恩大学,普瓦捷大学和巴黎大学任教。1921年被法兰西公学院聘为教授，次年当选法国科学院院士。 1941年，勒贝格在第二次世界大战期间因病于巴黎逝世。

研究工作

测度论的建立

19世纪以来，在微积分严密化过程中，黎曼积分的局限性得以暴露。1870至1880年间，人们广泛开展了对积分理论的改造，工作主要集中在无穷集合性质的探讨；无处稠密集也可以具有正的外容度，这一发现使集合的测度概念在积分论研究中占据重要地位。由于黎曼积分的定义建立在对区间长度的分割之上，人们很自然地考虑把长度、面积等概念推广到更广泛的点集类上，从而把积分置于集合测度理论的框架之中。

在这一方向上，康托尔、施托尔茨、皮亚诺、若尔当、博雷尔等分析学家都曾尝试推广长度与面积的概念，其中多数人认为“容度”（英语：content）是合适的概念，可用来度量越来越复杂的点集。若尔当使容度理论趋于完善，并证明了有限可加性；博雷尔对其作了实质性改进，使之更接近现代测度理论。博雷尔的测度对可数个集合可加，这从根本上强于若尔当的容度。

勒贝格在博雷尔等人工作的基础上系统地建立了测度理论，并用它建立起自己的积分理论。他突破了若尔当定义中有限覆盖的限制，改用可数个区间覆盖点集：对 E⊂ [a,b]，定义 （公式略）

为外测度，当 （公式略） 时称 E 为可测集。在博士论文第一章中，他通过给集合赋予外测度 m^(*) 与内测度 m_(*) 来发展测度论，并以二者相等来定义可测集，形式比博雷尔的更一般。1902年发表的《积分、长度与面积》被公认为现代测度与积分理论的奠基之作。

积分理论的建立

定义

黎曼积分的定义建立在对自变量区间的分割之上。勒贝格改为分割函数的值域：设 f(x) 是 [a,b] 上的有界实值函数， M₁≤ f(x)≤ M₂，对 [M₁,M₂] 作分划 M₁=y₀<y₁<⋯ <yₙ=M₂，令 （公式略）。若这些集合都可测（即 f 为勒贝格可测函数），考虑和式 s_(Δ)=∑ ᵢ₌₁ⁿyᵢ₋₁ m(Eᵢ), S_(Δ)=∑ ᵢ₌₁ⁿyᵢ m(Eᵢ)。

当 （公式略） 时，若二者趋于同一极限，则该极限即为 f 在 [a,b] 上的勒贝格积分。

这一思想在勒贝格的几篇短文中逐步成形：1901年的短文给出了按值域分划的定义，并指出每个有界导函数都可积，以及仅假设导数有界时的曲线长度公式；在1902年的博士论文中，他先把非负函数的积分几何地定义为点集 （公式略） 的二维测度，再给出分析定义。

勒贝格曾用还债作比喻来说明这一思路：黎曼的方法好比随手从口袋里摸出各种面值的钞票，逐张还给债主；他自己的方法则是先把全部钞票按面值分堆，再按应还数目付清。在这一框架下，若尔当可测集与博雷尔可测集都是勒贝格可测集，勒贝格积分的适用范围也包含了贝尔所引入的各种不连续函数。

主要结果

逐项积分与控制收敛定理：19世纪初傅里叶的三角级数工作引出一个问题：当有界函数可以表示为三角级数时，该级数是否就是它的傅里叶级数？这与无穷级数能否逐项积分密切相关。傅里叶认为在和函数有界时逐项积分是正确的，但到19世纪末人们认识到，即使对黎曼可积函数的一致有界级数，逐项积分也不总是可行，因为和函数未必黎曼可积。勒贝格由此得到控制收敛定理，并作为特例指出：勒贝格可积的一致有界级数都可以逐项积分，从而支持了傅里叶的结论。1903年，他在关于三角级数的论文中证明了三个定理：表示有界函数的三角级数必是其傅里叶级数（允许有一个可约的例外集）、傅里叶系数趋于零（黎曼-勒贝格引理）、傅里叶级数可以逐项积分。

微积分基本定理：公式 ∫ ₐ^(x)f'(t) dt=f(x)-f(a) 在黎曼积分意义下局限很大：1878至1881年间，迪尼（U. Dini）和沃尔泰拉（V. Volterra）曾构造出导函数有界、但导函数不是黎曼可积的函数。勒贝格指出，在新的积分理论下，当 f' 有界时这一困难不存在；当 f' 取有限值但无界时，只要 f' 可积，基本定理仍成立，且 f 是有界变差函数。对于哈纳克（A. Harnack）曾引入的绝对连续函数，他则证明：上述公式成立的充分必要条件是 f 在 [a,b] 上绝对连续。

曲线长度：19世纪前期，人们普遍认为曲线 y=f(x) 的长度总可由 （公式略） 表示。杜·布瓦-雷蒙（P. du Bois-Reymond）在1879年认为，积分理论对曲线长度概念与可求长性的陈述是必不可少的；19世纪末舍费尔（L. Scheeffer）举出的反例，使上述定积分在黎曼积分意义下失去意义。勒贝格应用自己的积分理论，证明了曲线长度与积分概念密切相关，从而恢复了杜·布瓦-雷蒙断言的可信性。

有界变差函数的可微性：对基本定理与曲线可求长性的研究，使勒贝格发现有界变差函数几乎处处可微。人们此前曾长期认为连续函数在其定义域内绝大多数点可微，到19世纪末这一看法逐渐受到怀疑，勒贝格的定理在这一意义上支持了老一代数学家的直觉。

重积分：黎曼积分在“二重积分等于累次积分”这一传统定理上也显出不足。勒贝格的重积分理论使可用累次积分计算二重积分的函数范围扩大；他在1902年给出的结果为1907年傅比尼（G. Fubini）建立的富比尼定理奠定了基础。

后续发展

1904年《积分与原函数的研究讲义》出版，勒贝格积分由此成为分析学研究中可以通用的标准积分。勒贝格积分作为分析学中的有力工具，在三角级数中取得高度成功，吸引了法图（P. Fatou）、里斯（F. Riesz）、菲舍尔（E. Fischer）等人参与研究，使该领域迅速发展。里斯关于 L^(p) 空间的工作尤其重要，勒贝格可积函数全体构成完备的距离空间，使该积分在积分方程与函数空间理论中长期占有重要位置。

1910年，勒贝格发表题为《不连续函数的积分》的专题报告，把积分与微分理论推广到 n 维空间，并引入定义在勒贝格可测集类上的可数可加集函数，指出这类函数是集合类上的有界变差函数。拉东（J. Radon）在1913年的文章中给出更广的积分定义，把斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分都作为特殊情形，并指出勒贝格的思想在更一般的背景下同样有效。伯基尔指出，这篇1910年的论文着重把不定积分看作集合的函数，并用正则集族研究其微分，为拉东、德拉瓦莱·普桑、卡拉西奥多里等人后来关于集函数的工作奠定了基础。