梅滕斯定理1874

以下假定 p≤ n 指的是所有不超过 n 的质数。

梅滕斯第一定理

梅滕斯第一定理指的对于任何的 n≥ 2 而言，以下式的绝对值不会超过 2 （A083343）： ∑ _(p≤ n)(log p)/p-log n

梅滕斯第二定理

梅滕斯第二定理如下： lim _(n→ ∞)(∑ _(p≤ n)1/p-log log n-M)=0,

其中 M 是Meissel–Mertens常数（A077761）；更精确地说，梅滕斯证明了对于任意的 n≥ 2，以上的公式在极限意义下，其绝对值不会超过下式： 4/(log(n+1))+2/(nlog n)

证明

证明梅滕斯第二定理的主要步骤如下： （公式略）

其中最后的等式要求 ∑ _(p^(k)≤ n)log p=O(n)，而这可由 （公式略） 得出。

因此我们证明了下式： （公式略）

由于在 k≥ 2 时，质数的次方的倒数和收敛之故，这表示说 ∑ _(p≤ n)(log p)/p=log n+O(1)

故由分部求和法可推得下式： ∑ _(p≤ n)1/p=log log n+M+O(1/log n)

变号

在一篇于1983年出版的关于除数函数增长率的文章中，Guy Robin证明了以下在梅滕斯第二定理中出现的差会变号无限多次： ∑ _(p≤ n)1/p-log log n-M

此外，以下在梅滕斯第三定理中出现的差也会变号无限多次： log n∏ _(p≤ n)(1-1/p)-e^(-γ)

Robin的结果类似于李特尔伍德证明的“ π (x)-Li(x) 这个差会变号无限多次”的这定理。唯对于梅滕斯第二及第三定理而言，目前尚没有类似于斯奎斯数这样，最小的导致变号的自然数的上界。

与质数定理间的关系

梅滕斯在他的《两个令人好奇的勒让德公式》（two curious formula of Legendre）这篇论文中论及了这个渐近公式，在这篇文章中出现的第一个公式是梅滕斯第二定理的原型；而同篇文章中出现的第二个公式是梅滕斯第三定理的原型，详情可见该篇文的前面数行。他回忆说这公式出现在勒让德的《数论》（Théorie des nombres）的第三版（出版于1830年，而实际上该公式出现于1808年出版的第二版中），且更加详细的版本为切比雪夫在1851年所证明。应当注意的是，欧拉在1737年就已知该公式的渐近行为。

梅滕斯礼貌性地描述说他的证明是更加精准且确实的。实际上在他之前的任何证明，在现代标准下都是不可接受的：欧拉的计算牵涉到无限（以及无限的双曲对数和无限的对数的对数）；勒让德的论证是启发性的；而切比雪夫证明，尽管逻辑上完美，但用到了直到1896年之前都尚未得证、并在后来被称为质数定理的勒让德─高斯猜想。

梅滕斯的证明并未用到在1874时尚未得证的任何猜想，且只用到基本的实分析，而这证明出现在质数定理得证的22年之前；而与之相对地，质数定理仰赖对做为复数域上的函数的黎曼ζ函数的行为的详细分析。

由此来看，梅滕斯的证明在这方面是印象深刻的，事实上，以当今惯用的大O符号表记，其论述如下： ∑ _(p≤ x)1/p=log log x+M+O(1/log x)

而若使用最简单、不带误差项估计的质数定理，可证明下式成立： ∑ _(p≤ x)1/p=log log x+M+o(1/log x).

在1909年，爱德蒙·兰道（Edmund Landau）用他当时可得的最好的质数定理的版本，证明了下式成立： ∑ _(p≤ x)1/p=log log x+M+O(e⁻(log x)^(1/14))

特别地，对任何固定数 k 而言，这误差项小于 1/(log x)^(k)

对已知的最强版本使用简单的分部求和技巧，可将之改进为：

对于一些 c>0 而言，有 ∑ _(p≤ x)1/p=log log x+M+O(e⁻c(log x)^(3/5)(log log x)^(-1/5))

类似地，使用分部求和法可证明说质数定理蕴含了 ∑ _(p≤ x)(log p)/p=log x+C+o(1)。

梅滕斯第三定理

梅滕斯第三定理如下： lim _(n→ ∞)log n∏ _(p≤ n)(1-1/p)=e^(-γ)≈ 0.561459483566885,

其中 γ 是欧拉-马斯刻若尼常数。（A001620）

与筛法的关系

对于“ X （ （公式略））没有小于 n 的因子的几率”的估计，可由下式给出： ∏ _(p≤ n)(1-1/p)

这与梅滕斯第三定理密切相关，因为梅滕斯第三定理给出了下式的渐近估计： （公式略）