裂复数1848

定义

考虑数 z=x+jy，其中 x,y 是实数，而量 j 不是实数，但 j² 是实数。

选取 j²=-1，得到一般复数。取 +1 的话，便得到双曲复数。

定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律： (x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)

( (x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j²yv=(xu+yv)+j(xv+yu)

共轭、范数

对于 z=x+jy，其共轭值 z^(*)=x-jy。对于任何双曲复数 z,w， (z+w)^(*)=z^(*)+w^(*)

( (zw)^(*)=z^(*)w^(*)

( (z^(*))^(*)=z

可见它是自同构的。

定义内积为 ⟨ z,w⟩ =Re(zw^(*))=Re(zw^(*))=xu-yv。若 ⟨ z,w⟩ =0，说 z,w （双曲）正交。

双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基范数）： （公式略）。

这个范数非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变： （公式略）。

除法

除了0之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。 （公式略）

由此可见，双曲复数可逆当且仅当其平方范数非零。其形式均为 k(1± j)，其中 k 是实数。

基

双曲复数的幂等元有：

列方程 (x+jy)²=(x²+y²)+2xyj。有四个解： 1,0,s=(1-j)/2,s^(*)=(1+j)/2。

s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。 z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^(*)。

若将 z=ae+be^(*) 表示成 (a,b)，双曲复数的乘法可表示成 (a,b)(c,d)=(ac,bd)。因此，在这个基里，双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。

共轭可表示为 (a,b)^(*)=(b,a)，范数 （公式略）。

几何

有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间，表示为R1,1。正如欧几里得平面R2的几何学可以复数表示，闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。

在R，对于非零的 a，点集 （公式略） 是双曲线。左边和右边的会经过 a 和 -a。 a=1 称为单位双曲线。

共轭双曲线是 （公式略），会分别经过 ja 和 -ja。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线 （公式略） 分开。

欧拉公式的相应版本是 e^(jθ)=cosh(θ)+jsinh(θ)。

历史

1848年，詹姆斯·科克尔（James Cockle）提出了双复数（当时他将其称为“Tessarines”）。1873 年，William Kingdon Clifford 在《Preliminary Sketch of Biquaternions》中使用复四元数（biquaternions）讨论刚体运动中的 rotor、motor、扭矩和力矩；其后该文被收入 1882 年出版的《Mathematical Papers》集中。

20世纪，双曲复数成为描述狭义相对论的劳仑兹变换的工具，因为不同参考系之间的速度变换可由双曲旋转表达。