基尔霍夫电路定律

从麦克斯韦方程组可以推导出基尔霍夫电路定律。但是，基尔霍夫并不是依循这条思路发展，而是从格奥尔格·欧姆的工作成果加以推广得之。

基尔霍夫电流定律

• 基尔霍夫电流定律又称为基尔霍夫第一定律，表明：
• 或者，更详细描述，
• 以方程表达，对于电路的任意节点， ∑ ₖ₌₁ⁿiₖ=0；

其中， iₖ 是第 k 个进入或离开这节点的电流，是流过与这节点相连接的第 k 个支路的电流，可以是实数或复数。

由于累积的电荷（单位为库仑）是电流（单位为安培）与时间（单位为秒）的乘积，从电荷守恒定律可以推导出这条定律。其实质是稳恒电流的连续性方程，即根据电荷守恒定律，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

导引

思考电路的某节点，跟这节点相连接有 n 个支路。假设进入这节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则经过这节点的总电流 i 等于流过支路 k 的电流 iₖ 的代数和： i=∑ ₖ₌₁ⁿiₖ。

将这方程积分于时间，可以得到累积于这节点的电荷的方程： q=∑ ₖ₌₁ⁿqₖ；

其中， q=∫ ₀^(t)i(t')d t' 是累积于这节点的总电荷， qₖ=∫ ₀^(t)iₖ(t')d t' 是流过支路 k 的电荷， t 是检验时间， t' 是积分时间变数。

假设 q>0，则正电荷会累积于节点；否则，负电荷会累积于节点。根据电荷守恒定律， q 是个常数，不能够随着时间演进而改变。由于这节点是个导体，不能储存任何电荷。所以， q=0、 i=0，基尔霍夫电流定律成立： ∑ ₖ₌₁ⁿiₖ=0。

含时电荷密度

从上述推导可以看到，只有当电荷量为常数时，基尔霍夫电流定律才会成立。通常，这不是个问题，因为静电力相斥作用，会阻止任何正电荷或负电荷随时间演进而累积于节点，大多时候，节点的净电荷是零。

不过，电容器的两块导板可能会允许正电荷或负电荷的累积。这是因为电容器的两块导板之间的空隙，会阻止分别累积于两块导板的异性电荷相遇，从而互相抵消。对于这状况，流向其中任何一块导板的电流总和等于电荷累积的速率，而不是零。但是，若将位移电流 J _(D) 纳入考虑，则基尔霍夫电流定律依然有效。详尽细节，请参阅条目位移电流。只有当应用基尔霍夫电流定律于电容器内部的导板时，才需要这样思考。若应用于电路分析（circuit analysis）时，电容器可以视为一个整体器件，净电荷是零，所以原先的电流定律仍适用。

由更技术性的层面来说，取散度于麦克斯韦修正的安培定律，然后与高斯定律相结合，即可得到基尔霍夫电流定律： ∇ · J =-ε ₀∇ · (∂ E)/(∂ t)=-(∂ ρ)/(∂ t)；

其中， J 是电流密度， ε ₀ 是电常数， E 是电场， ρ 是电荷密度。

这是电荷守恒的微分方程。以积分的形式表述，从封闭表面流出的电流等于在这封闭表面内部的电荷 Q 的流失率： ∮ _(S)J · d a =-(d Q)/(d t)。

基尔霍夫电流定律等价于电流的散度是零的论述。对于不含时电荷密度 ρ，这定律成立。对于含时电荷密度，则必需将位移电流纳入考虑。

应用

以矩阵表达的基尔霍夫电流定律是众多电路模拟软件（electronic circuit simulation）的理论基础，例如，SPICE或NI Multisim。

基尔霍夫电压定律

• 基尔霍夫电压定律又称为基尔霍夫第二定律，表明：
• 或者，换句话说，
• 以方程表达，对于电路的任意闭合回路， ∑ ₖ₌₁^(m)vₖ=0；

其中， m 是这闭合回路的器件数目， vₖ 是器件两端的电压，可以是实数或复数。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。

电场与电势

在静电学里，电势定义为电场的负线积分： （公式略）；

其中， φ (r) 是电势， E 是电场， L 是从参考位置到位置 r 的路径， d ℓ 是这路径的微小线元素。

那么，基尔霍夫电压定律可以等价表达为： ∮ _(C)E · dl =0；

其中， C 是积分的闭合回路。

这方程乃是法拉第电磁感应定律对于一个特殊状况的简化版本。假设通过闭合回路 C 的磁通量为常数，则这方程成立。

这方程指明，电场沿着闭合回路 C 的线积分为零。将这线积分切割为几段支路，就可以分别计算每一段支路的电压。

理论限制

由于含时电流会产生含时磁场，通过闭合回路 C 的磁通量是时间的函数，根据法拉第电磁感应定律，会有电动势 E 出现于闭合回路 C。所以，电场沿着闭合回路 C 的线积分不等于零。这是因为电流会将能量传递给磁场；反之亦然，磁场亦会将能量传递给电流。

对于含有电感器的电路，必需将基尔霍夫电压定律加以修正。由于含时电流的作用，电路的每一个电感器都会产生对应的电动势 Eₖ。必需将这电动势纳入基尔霍夫电压定律，才能求得正确答案。

频域

思考单频率交流电路的任意节点，应用基尔霍夫电流定律 （公式略）；

其中， iₖ 是第 k 个进入或离开这节点的电流， Iₖ 是其振幅， θ ₖ 是其相位， ω 是角频率， t 是时间。

对于任意时间，这方程成立。所以，设定相量 I ₖ=Iₖe^(j)θ ₖ，则可以得到频域的基尔霍夫电流定律，以方程表达， ∑ ₖ₌₁ⁿI ₖ=0。

频域的基尔霍夫电流定律表明：

这是节点分析的基础定律。

类似地，对于交流电路的任意闭合回路，频域的基尔霍夫电压定律表明：

以方程表达， ∑ ₖ₌₁^(m)V ₖ=0；

其中， V ₖ 是闭合回路的器件两端的电压相量。

这是网目分析（mesh analysis）的基础定律。