热传导方程式1822

物理机制

热传导在三维的各向同性介质里的传播可用以下方程表达： （公式略）

其中：

u =u(t, x, y, z)表温度，它是时间变数t与空间变数(x,y,z)的函数。 ∂ u / ∂ t 是空间中一点的温度对时间的变化率。 uₓₓ, u_(yy) 与 u_(zz) 温度对三个空间坐标轴的二次导数。

k是热扩散率，决定于材料的热导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式 uₜ=kΔ u,

其中的 Δ 是对空间变数的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电势。

就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达一个“扰动可以在瞬间传播至空间各处”的情况。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

以傅里叶级数解热方程

以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变数的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下： (1) uₜ=kuₓₓ

其中u = u(t, x)是t和x的双变数函数。

x是空间变数，所以x ∈ [0,L]，其中L表示棍子长度。

t是时间变数，所以t ≥ 0。

假设下述初始条件 (2) u(0,x)=f(x) ∀ x∈ [0,L]

其中函数f是给定的。再配合下述边界条件 (3) u(t,0)=0=u(t,L) ∀ t>0.

让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件(3)并具备以下形式： (4) u(t,x)=X(x)T(t).

这套技术称作分离变数法。现在将u代回方程(1)， (T'(t))/(kT(t))=(X''(x))/(X(x)).

由于等式右边只依赖x，而左边只依赖t，两边都等于某个常数− λ，于是： (5) T'(t)=-λ kT(t)

( (6) X''(x)=-λ X(x).

以下将证明(6)没有λ ≤ 0的解：

假设λ < 0，则存在实数B、C使得 X(x)=Be^(√(-λ) x)+Ce^(-√(-λ) x)。

从(3)得到 X(0)=0=X(L).

于是有B = 0 = C，这蕴含u恒等于零。

假设λ = 0，则存在实数B、C使得 X(x)=Bx+C.

仿上述办法可从等式(3)推出u恒等于零。

因此必然有λ > 0，此时存在实数A、B、C使得 T(t)=Ae^(-λ kt)

X(x)=Bsin(√(λ) x)+Ccos(√(λ) x)。

从等式(3)可知C = 0，因此存在正整数n使得 √(λ)=n(π)/L。

由此得到热方程形如(4)的解。

一般而言，满足(1)与(3)的解相加后仍是满足(1)与(3)的解。事实上可以证明满足(1)、(2)、(3)的解由下述公式给出： （公式略）

其中 Dₙ=2/L∫ ₀^(L)f(x)sin (nπ x)/L dx。

推广求解技巧

上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子 （公式略） 可以用它的特征矢量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。

考虑线性算子Δ u = ux x，以下函数序列 eₙ(x)=√(2/L)sin (nπ x)/L （n ≥ 1）

是Δ的特征矢量。诚然： （公式略）。

此外，任何满足边界条件f(0)=f(L)=0的Δ的特征矢量都是某个en。令L2(0, L)表 [0, L]上全体平方可积函数的矢量空间。这些函数en构成L2(0, L)的一组正交归一基。更明白地说： （公式略）