八元数1843

也许是因为八元数的乘法不具备结合性，因此它们作为超复数而言受关注的程度较四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑中也有应用。

历史

八元数第一次被描述于1843年，于一封约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中。格雷夫斯称其为“octaves”。后来八元数由阿瑟·凯莱在1845年独自发表。格雷夫斯发表结果的时间点比阿瑟·凯莱发表的时间稍晚一些。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。阿瑟·凯莱是独自发现八元数的，因此八元数又被称为凯莱数或凯莱代数。哈密顿则描述了八元数被发现并描述的早期历史。

定义

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多种构造方式。以凯莱-迪克森结构为例，八元数可以表达为2个四元数P与Q的组合，即 P+Q l 或 p₀+p₁i+p₂j+p₃k+(q₀+q₁i+q₂j+q₃k)l，其中，量l为其中一个八元数单位并满足： i²=j²=k²=l²=-1

在这种定义下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成 x=x₀+x₁ i+x₂ j+x₃ k+x₄ l+x₅ il+x₆ jl+x₇ kl

其中系数xa是实数。

这些八元数单位亦满足： i²=j²=k²=l²=(il)²=(jl)²=(kl)²=-1

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定：

一些不同的定义方式会将八元数的单位元表达为ea的线性组合，其中 a=0, 1,..., 7： （公式略）

当中的 e₀ 为实数单位。每个八元数单位元皆不相等，而其平方为实数。也就是说，每个八元数 x 都可以写成以下形式： x=x₀e₀+x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃+x₄e₄+x₅e₅+x₆e₆+x₇e₇,

其中xi为单位元ei的系数，且必为实数。八元数的加法和减法是通过加减相应的项以及它们的系数来完成的，与四元数的加减法类似。 乘法则较为复杂。 八元数的乘法是对加法的分配，所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算，再次如同四元数一般。 每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出，其乘法表的结构与{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式（ p₀+p₁i+p₂j+p₃k+(q₀+q₁i+q₂j+q₃k)l）类似。这个乘法表先后由Graves于1843年和Cayley于1845年描述：

除了主对角线上以及 e₀ 作为操作数的行和列的元素之外，乘法表中的大多数非对角元素都是反对称的，这使得这个乘法表几乎是一个斜对称矩阵。

该表可总结如下： （公式略）

其中δij为克罗内克δ函数（当且仅当i = j时为1）、 εijk为完全反对称张量，且当ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365时，值为1。

然而，上述定义并不是唯一的。这些定义只是 e₀=1 八元数乘法的480个可能定义之一。其他的八元数乘法定义可以透过置换和改变非标量基元素 （公式略） 的符号来获得。这480个不同乘法定义对应的代数结构是同构的，很少需要考虑使用哪个特定的乘法规则。

这480个八元数乘法定义中，每一定义的正负号在7循环（1234567）下的特定点上都是不变的，并且对于每个7循环有四个定义，它们的区别在于正负号和顺序的反转。 一个常见的选择是使用 e1e2 = e4的7循环（1234567）下的定义不变量 — 通过使用三角乘法图或下面的 法诺平面，该平面还显示了基于124的7循环三元组及其相关乘法的排序列表en和 ijkl 格式的矩阵。

此外，亦有一些文献会将八元数的单位定义为 1,i,j,k,L,m,n,o。

凯莱-迪克松构造

一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数 (a,b) 和 (c,d) 的乘积定义为： (a,b)(c,d)=(ac-d^(*)b,da+bc^(*))

其中 z^(*) 表示四元数 z 的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。

法诺平面记忆

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也视为一条直线），称为法诺平面。这些直线是有向的。七个点对应于Im( O)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。

设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：

• ab = c，ba = −c
• 以及它们的循环置换。这些规则
• 1是乘法单位元，
• 对于图中的每一个点，都有 e²=-1

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了 O 的一个子代数，与四元数 H 同构。

共轭、范数和逆元素

八元数 x=x₀+x₁ i+x₂ j+x₃ k+x₄ l+x₅ il+x₆ jl+x₇ kl

的共轭为： x^(*)=x₀-x₁ i-x₂ j-x₃ k-x₄ l-x₅ il-x₆ jl-x₇ kl.

当中除了实数项外，其余项正负号皆相反。因此若将八元数单位表达为{e1, e2... e7}，则八元数的共轭可以简化表示为： x^(*)=x=x₀e₀-xᵢeᵢ, i=1,2⋯ 7

共轭是 O 的一个对合，满足 (xy)^(*)=y^(*)x^(*) （注意次序的变化）。

x的实数部分定义为 （公式略），虚数部分定义为 （公式略）。所有纯虚的八元数生成了 O 的一个七维子空间，记为Im( O)。

八元数x的范数可用与自身共轭的积 ‖x‖²=x^(*)x 来定义： （公式略）

在这里，平方根是定义良好的，因为 x^(*)x=xx^(*) 总是非负实数： ‖x‖²=x^(*)x=x₀²+x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²+x₆²+x₇²

这个范数与 R ⁸ 上的标准欧几里得范数是一致的。 O 上范数的存在，意味着 O 的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素为： （公式略）

它满足 xx⁻¹=x⁻¹x=1。

性质

八元数的乘法既不是交换的： ij=-ji≠ ji

也不是结合的： (ij)l=-i(jl)≠ i(jl)

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数是结合的。实际上，我们可以证明，由 O 的任何两个元素所生成的子代数都与 R、 C 或 H 同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。

八元数确实保留了 R、 C 和 H 共同拥有的一个重要的性质： O 上的范数满足 ‖xy‖=‖x‖‖y‖

这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因为它们都存在零因子。

这样，实数域上唯一的赋范可除代数是 R、 C、 H 和 O。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数。

由于八元数不是结合的，因此 O 的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。

自同构

八元数的自同构A，是 O 的可逆线性变换，满足： A(xy)=A(x)A(y).

O 的所有自同构的集合组成了一个群，称为G2。群G2是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是例外李群中最小的一个。