黎曼曲率张量1861

这里 R(u,v) 是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。

注意有些作者用相反的符号定义曲率.

如果 （公式略） 与 （公式略） 是坐标向量场则 [u,v]=0 所以公式简化为 R(u,v)w=∇ _(u)∇ _(v)w-∇ _(v)∇ _(u)w

也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。

线性变换 （公式略） 也称曲率变换。

对称性和恒等式

进一步,由上式定义了如下的三重线性映射 R:(w,u,v)→ R(u,v)w,

映射 R 关于每一个自变量都是 C^(∞) 线性的, 故 R 是 M 上的 (1,3) 型光滑张量场, 称之为仿射联络空间 (M,∇) 的曲率张量.

在坐标向量场下， R 可以表示为 （公式略）

还可以定义四重线性映射，如下 R:(w,z,u,v)→ g(R(u,v)w,z),

则映射 R 关于每一个自变量都是 C^(∞) 线性的, 故 R 是黎曼流形 (M,g) 上的 (0,4) 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 (M,g) 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, R 可以表示为 R=R_(klij)dx^(k)⊗ dx^(l)⊗ dxⁱ⊗ dx^(j).

注：上述纺射联络空间 (M,∇) 上的曲率张量 R 与黎曼流形 (M,g) 上的黎曼曲率张量 R 是同一个对象的不同表现形式.

注 R_(klij)=g_(lm)Rₖᵢⱼ^(m).

• 黎曼曲率张量有如下的对称性: R(u,v)=-R(v,u)
• ⟨ ⟨ R(u,v)w,z⟩ =-⟨ R(u,v)z,w⟩
• R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0

最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有 （公式略） 个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出: ⟨ R(u,v)w,z⟩ =⟨ R(w,z)u,v⟩

比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数: ∇ _(u)R(v,w)+∇ _(v)R(w,u)+∇ _(w)R(u,v)=0

给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为: R_(abcd)=-R_(bacd)

R_(abcd)=R_(cdab)

第一（代数）比安基恒等式： R_(abcd)+R_(adbc)+R_(acdb)=0 或等价地写为 R_(a[bcd])=0

第二（微分）比安基恒等式： ∇ ₑR_(abcd)+∇ _(d)R_(abec)+∇ _(c)R_(abde)=0 或等价地写为 R_(ab[cd;e])=0

其中方括号表示对下标的反对称化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。