柯西－黎曼方程1752

在一对实值函数 u(x,y) 和 v(x,y) 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：

• (1a) （公式略）
• 和
• (1b) （公式略）

通常， u 和 v 取为一个复函数的实部和虚部： f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)。假设 u 和 v 在开集 C 上连续可微，则当且仅当 u 和 v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b)， f=u+iv 是全纯的

注释和其他表述

共形映射

• 柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先，它们可以写成复数形式：
• (2) （公式略）
• 在此形式中，方程对应于雅可比矩阵结构上有如下形式 （公式略）

其中 a=∂ u/∂ x=∂ v/∂ y， b=∂ v/∂ x=-∂ u/∂ y。该形式的矩阵是复数的矩阵表示。几何上，这样的一个矩阵总是一个旋转和一个缩放的复合，从而是保角（保持角度不变）的。因此，满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即，柯西-黎曼方程是函数成为共形映射的条件。

复共轭的独立性

• 方程组有时也被写作一个方程
• (3) （公式略）
• 其中微分算子 （公式略） 定义为 （公式略）

在此形式中，柯西-黎曼方程可以解释为 f 独立于变量 z。

复可微性

柯西-黎曼方程是函数的复可微性（或称全纯性）的充要条件(Ahlfors 1953，§1.2)。精确的讲，设 f(z)=u(z)+iv(z)

为复数z∈C的函数，则f在点z0的复导数定义为 （公式略）

如果该极限存在。

若该极限存在，则可以取h→0沿着实轴或者虚轴的极限；它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近，得到 （公式略）

而从虚轴逼近有 （公式略）

f沿着两个轴的导数相同也即 (∂ f)/(∂ x)(z₀)=-i(∂ f)/(∂ y)(z₀),

这就是在点z0的柯西-黎曼方程（2）。

反过来，如果f:C → C作为映射到R2上的函数可微，则f复可微当且仅当柯西-黎曼方程成立。

物理解释

柯西-黎曼方程的一个解释(Pólya & Szegö 1978)和复变理论无关。设u和v在R2的开子集上满足柯西-黎曼方程，考虑向量场 （公式略）

将其视为（实）两个分量的向量。则第二个柯西-黎曼方程（1b）断言 f 无旋： (∂ (-v))/(∂ x)-(∂ u)/(∂ y)=0.

第一个柯西-黎曼方程（1a）断言该向量场无源（或者是零散度）： (∂ u)/(∂ x)+(∂ (-v))/(∂ y)=0.

分别根据格林定理和散度定理，这样的场是保守的，而且没有源，在整个开域上净流量为零。（这两点在柯西积分定理中作为实部和虚部结合起来。）在流体力学中，这样的一个场是一个势流(Chanson 2000)。在静磁学中，这样的向量场是在不含电流的平面区域中的静磁场的模型。在静电学中，它们提供了不包含电荷的平面区域的电场模型。

其它解释

柯西-黎曼方程的其他表述有时出现在其他坐标系中。若（1a）和（1b）对于连续函数u和v成立，则如下方程也成立 (∂ u)/(∂ s)=(∂ v)/(∂ n), (∂ u)/(∂ n)=-(∂ v)/(∂ s)

对于任何坐标(n(x,y), s(x,y))，如果它们满足 (∇ n,∇ s) 正交并且正定向。因此，特别的有，在极坐标z=reiθ下，方程组有如下形式 （公式略）

结合成一个f的方程，就有 （公式略）

非齐次方程

非齐次柯西-黎曼方程由两个未知两个实变量的函数u(x,y)和v(x,y)的方程组成 (∂ u)/(∂ x)-(∂ v)/(∂ y)=α (x,y)

∂ (∂ u)/(∂ y)+(∂ v)/(∂ x)=β (x,y)

对于给定的定义在R2的开子集上的函数α(x,y)和β(x,y)。这些方程经常合并为一个方程。 （公式略）

其中f=u+iv，φ=(α+iβ)/2。

若φ是Ck的，则在有界区域D中方程显式可解，只要φ在D的闭包上连续。实际上，按照柯西积分公式， （公式略）

对于所有ζ∈D成立。

推广

Goursat定理及其推广

设f = u+iv为复函数，作为函数f: R2 → R2可微。则柯西积分定理（柯西－古尔萨定理）断言f在开复域Ω上解析当且仅当它在该域上满足柯西-黎曼方程(Rudin 1966，Theorem 11.2)。特别是，f不需假定为连续可微(Dieudonné 1969，§9.10, Ex. 1)。

柯西－古尔萨定理的假设可以大幅减弱；f不需可微，只要f=u+iv在Ω上连续且f关于x和y的偏导数在Ω中存在即可，这个结果称为Looman–Menchoff定理。

f在整个域Ω上满足柯西-黎曼方程是要点。可以构造在一点满足柯西-黎曼方程的连续函数，但它不在该点解析（譬如，f(z) = z5/|z|4）。只满足柯西-黎曼方程也是不够的，（需额外满足连续性），下面的例子表明了这一点：(Looman 1923，第107页) （公式略）

它处处满足柯西-黎曼方程，但在z=0不连续。

但是，如果一个函数在开集上以弱形式满足柯西-黎曼方程，则函数解析。更精确的讲(Gray & Morris 1978，Theorem 9):

若f(z)在开域Ω⊂C上局部可积，并以弱形式满足柯西-黎曼方程，则f和Ω上的一个解析函数几乎处处相等。

多变量的情况

在多复变量的理论中有对柯西-黎曼方程的恰当推广。他们组成一个偏微分方程的严重过约束系统。通常的表述中，d-bar算子 ∂

• 将全纯函数消零。这是 （公式略）,
• 的直接推广
• 其中 （公式略）