夹挤定理

定义

设 I 为包含某点 a 的区间， f,g,h 为定义在 I 上，可能不包含a点的函数。若对于所有属于 I 而不等于 a 的 x，有： g(x)≤ f(x)≤ h(x)

lim lim _(x→ a)g(x)=lim _(x→ a)h(x)=L

则 lim _(x→ a)f(x)=L。 g(x) 和 h(x) 分别称为 f(x) 的下界和上界。 a 若在 I 的端点，上面的极限是左极限或右极限。

对于 x→ ∞，这个定理还是可用的。

例子

有关正弦函数的极限

对于 lim _(x→ 0)x²sin 1/x，

在任何包含0的区间上，除了 x=0， f(x)=x²sin 1/x 均有定义。

对于实数值，正弦函数的绝对值不大于1，因此 f(x) 的绝对值也不大于 x²。设 g(x)=-x², h(x)=x²： -1≤ sin 1/x≤ 1

− -x²≤ x²sin 1/x≤ x²

g(x)≤ f(x)≤ h(x)

lim lim _(x→ 0) g(x)=lim _(x→ 0) h(x)=0，根据夹挤定理 lim _(x→ 0)f(x)=0。

对于 lim _(x→ 0)(sin x)/x，

首先用几何方法证明：若 0<x<(π)/2， cos x<(sin x)/x<1。

称(1,0)为D。A是单位圆圆周右上部分的一点。 C 在 OD 上，使得 AC 垂直 OD。过 A 作单位圆的切线，与 OD 的延长线交于 E。

由定义可得 x=∠ AOD=arcAD， tan x=AE。 AC<AD<arcAD

• sin sin x<x
• sin (sin x)/x<1
• arcAD<AE
• x<tan x
• cos cos x<(sin x)/x

因为 lim _(x→ 0⁺)cos x=1，根据夹挤定理 lim _(x→ 0⁺)(sin x)/x=1。

另一边的极限可用这个结果求出。

高斯函数

高斯函数的积分的应用包括连续傅立叶变换和正交化。

一般高斯函数的积分是 I(a)=∫ ₀^(a)e⁻x² dx，现在要求的是 I(∞)=∫ ₀^(∞)e⁻x² dx。

被积函数对于y轴是对称的，因此 I(∞) 是被积函数对于所有实数的积分的一半。 (2I)²=[2∫ ₀^(a)e⁻x²dx]²=[∫ ₋ₐ^(a)e⁻x²dx]²=∫ ₋ₐ^(a)∫ ₋ₐ^(a)e⁻(x²+y²)dxdy

这个二重积分在一个 (-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a) 的正方形内。它比其内切圆大，比外接圆小。这些可用极坐标表示： ∫ ₀^(2π)∫ ₀^(a)re⁻r² dr dθ ≤ (2I)²≤ ∫ ₀^(2π)∫ ₀^(a√2)re⁻r² dr dθ

• π π (1-e⁻a²)≤ (2I)²≤ π (1-e⁻2a²)
• lim （公式略）
• lim lim _(a→ ∞)(2I)²=π
• （公式略）

证明

极限为0的情况

若 ∀ x∈ R， g(x)=0，而且 lim _(x→ a)h(x)=0。

设 ε >0，根据函数的极限的定义，存在 δ >0 使得：若 0<|x-a|<δ，则 |h(x)|<ε。

由于 0=g(x)≤ f(x)≤ h(x)，故 |f(x)|≤ |h(x)|。

若 0<|x-a|<δ，则 |f(x)|≤ |h(x)|<ε。于是， lim _(x→ a)f(x)=0。

• 一般情况： g(x)≤ f(x)≤ h(x)
• 0≤ f(x)-g(x)≤ h(x)-g(x)
• 当 x→ a： h(x)-g(x)→ L-L=0

根据上面已证的特殊情况，可知 f(x)-g(x)→ 0。 f(x)=[f(x)-g(x)]+g(x)→ 0+L=L。