罗尔定理

• 在闭区间 [a,b] 上连续；
• 在开区间 (a,b) 内可微分；
• 在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)，

那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ (a<ξ <b)，使得 f^(′)(ξ)=0。

证明

首先，因为 f 在闭区间 [a,b] 上连续，根据极值定理， f 在 [a,b] 上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点 a 或 b 处取得，由于 f(a)=f(b)， f 显然是一个常数函数。那么对于任一点 ξ ∈ (a,b)，我们都有 f^(′)(ξ)=0。

现在假设 f 在 ξ ∈ (a,b) 处取得最大值。我们只需证明 f 在该点导数为零。

取 x∈ (a,ξ)，由最大值定义 f(ξ)≥ f(x)，那么 (f(x)-f(ξ))/(x-ξ)≥ 0。令 x→ ξ ⁻，则 lim _(x→ ξ ⁻)(f(x)-f(ξ))/(x-ξ)≥ 0。因为 f 在 ξ 处可导，所以我们有 f'(ξ)≥ 0。

取 x∈ (ξ,b)，那么 (f(x)-f(ξ))/(x-ξ)≤ 0。这时令 x→ ξ ⁺，则有 lim _(x→ ξ ⁺)(f(x)-f(ξ))/(x-ξ)≤ 0，所以 f'(ξ)≤ 0。

于是，结合两者， f'(ξ)=0。 f 在 ξ ∈ (a,b) 处取得最小值的情况同理。

例子

第一个例子

考虑函数 （公式略）。

（其中r > 0。）它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。

第二个例子

如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0，考虑绝对值函数： f(x)=|x|, x∈ [-a,a]。

那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1，但不取得值0。

推广形式

第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：

考虑一个实数，f(x)是在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b).如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限 f'(x+):=lim _(h→ 0⁺)(f(x+h)-f(x))/h

而左极限 f'(x-):=lim _(h→ 0⁻)(f(x+h)-f(x))/h

在扩展的实数轴[−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限 f'(c+) 和 f'(c-)

中其中一个≥ 0，另一个≤ 0（在扩展的实数轴上）。如果对任何x左极限和右极限都相同，那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。

在 𝑓 的两个相邻实根之间，𝑓′ 的零点个数是奇数

设 f∈ R [x]，并先把重根去掉（若有重根， f' 在该点已为零，结论更易）。设 α <β

是 f 的相邻实根，即 (α,β) 内没有其它 f 的根。把 f 分解为 f(x)=(x-α)(x-β) h(x),

其中 h 在 [α,β ] 上不为零，因而符号恒定。两端求导得 f'(α)=(α -β) h(α), f'(β)=(β -α) h(β).

由于 h(α),h(β) 同号，而 α -β <0, β -α >0，可见 sgn f'(α)=-sgn f'(β),

即 f' 在端点异号。于是 f' 在开区间 (α,β) 内的零点个数必为奇数（连续函数两端异号 ⇒ 过零次数为奇数）。这就给出了 Rolle 结论，并且加强为“奇数个”。