卢津定理

定理叙述

一维形式

设 f:[a,b]→ C 是可测函数，对任何 ε >0，都存在紧致集 E⊂ [a,b]，使得 （公式略），而且f限制到E上是连续函数。此处 λ 是勒贝格测度。

证明

因为f可测，所以在一个测度任意小的开集以外，f是有界函数。在开集上重定义f为0，那么f在[a,b]上有界，因而是可积函数。因为连续函数在可积函数的空间 L ¹([a,b]) 中稠密，存在连续函数序列 gᵢ 依L1范数收敛至f，即 ∫ ₐ^(b)|gᵢ-f|→ 0。故此有子序列 gᵢₖ 几乎处处收敛至f。从叶戈罗夫定理可知，除了一个测度任意小的开集外， gᵢₖ 一致收敛至f。因为连续函数的一致收敛极限仍是连续的，故此f在此开集外连续。取E为以上两个开集的并集在[a,b]中的补集，那么原本的f在E上连续。

多维形式

设 μ 是 R ⁿ 上的正则博雷尔测度， f:R ⁿ→ R ^(m) 是 μ 可测函数。X是 R ⁿ 中的 μ 可测集，而且 μ (X)<∞，那么对任意 ε >0，X中存在紧致集K，使得 （公式略），而且f限制到K上是连续函数。

多维证明

首先，对每个正整数i，构造紧致集 Kᵢ 和在其上的连续函数 gᵢ，使得 （公式略）

且在 Kᵢ 上有 |f(x)-gᵢ(x)|<1/i

构造方法如下：

将 R ^(m) 分成两两不交的博雷尔集 (Yᵢⱼ)ⱼ₌₁^(∞)，使得每个集的直径都小于1/i。函数f可测，所以每个集的原像 f⁻¹(Yᵢⱼ) 是可测集。令 Xᵢⱼ=X∩ f⁻¹(Yᵢⱼ)，则 Xᵢⱼ 将X分成两两不交的可测集。

由于 μ 是博雷尔正则测度，且 μ (X)<∞，于是 μ 限制到X上是拉东测度。由拉东测度的内正则性，在 Xᵢⱼ 中存在紧致子集 Kᵢⱼ，使得 （公式略）

所以全部子集 （公式略） 的不交并集的测度 （公式略）

因为 （公式略），可以取足够大的N使得 （公式略）

令 （公式略）。有限个紧致集的并集是紧致集，所以 Kᵢ 紧致。因此 Kᵢ 满足要求。

对j=1,..., N，在 Yᵢⱼ 中任取一点 yᵢⱼ，并在 Kᵢⱼ 上定义 gᵢ(x)=yᵢⱼ。

因为在 Kᵢⱼ 上，f的值包含在 Yᵢⱼ 中，故此f和 gᵢ 相差小于1/i。而 Kᵢⱼ 是两两不交的紧致集，故两两间的距离都是正数，所以 gᵢ 在 Kᵢ 上是连续函数。因此 gᵢ 满足要求。

取 （公式略），K是紧致集，并有 （公式略）

函数列 gᵢ 在K上一致收敛到f。一致收敛保持函数的连续性，所以f在K上连续。