布朗运动1827

它是在公元1827年英国植物学家罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时，发现微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。布朗运动也能测量原子的大小，因为就是由水中的水分子对微粒的碰撞产生的，而不规则的碰撞越明显，就是原子愈小，因此根据布朗运动，定义原子的直径为10−8厘米。

定义

自1860年以来，许多科学家都在研究此种现象，后来发现布朗运动有下列的主要特性：

粒子的运动由平移及转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。

粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。

粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼。

粒子的成分及密度对其运动没有影响。

粒子的运动永不停止。

爱因斯坦的理论

在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分：第一部分定义布朗粒子扩散方程，其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关，而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式，爱因斯坦的理论可决定原子的大小，一摩尔有多少原子，或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律，所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升，其中包含的原子的数目被称为“阿伏伽德罗常数”。由气体的摩尔质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 1014 次撞击。因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动。

他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（ Δ 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 φ (Δ)。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数。 （公式略）

第一行中的第二个等式是被 φ 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系： （公式略）

拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 Δ，让 D 为质量扩散系数： （公式略）

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程： （公式略）

假设在初始时刻t = 0时，所有的粒子从原点开始运动，扩散方程的解 （公式略）

数学模型

定义

满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动

这个鞅是关于时间连续的。

他的平方减去时间项也是一个鞅。 (Mₜ) 是一个布朗运动当且仅当 (Mₜ) 为鞅，且 (Mₜ²-t) 也为鞅.

其他定义

一维的定义

一维布朗运动 (Bₜ)_(t≥ 0) 是关于时间t的一个随机过程，他满足：

（独立增量）设时间t和s满足t > s,增量 Bₜ-Bₛ 独立于时间s前的过程 (B_(u))_(0≤ u≤ s)。

（稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量 Bₜ-Bₛ 服从均值为0方差为t−s的正态分布。 (Bₜ)_(t≥ 0) 几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数 （公式略） 是连续的.

通常假设 B₀=0。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动 (Bₜ)_(t≥ 0) 是关于时间t的一个随机过程，他满足： (Bₜ)_(t≥ 0) 是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列： t₁≤ t₂≤...≤ tₙ,随机矢量： (Bₜ₁,Bₜ₂,...,Bₜₙ) 服从高维高斯分布（正态分布）。 (Bₜ)_(t≥ 0) 几乎处处连续。

对于所有s和t,均值 E [Bₜ]=0，协方差 E[BₛBₜ]=min(s,t).

高维定义 (Bₜ)_(t≥ 0):=(Bₜ¹,Bₜ²,...,Bₜ^(d))_(t≥ 0) 是d维布朗运动，只需满足 B¹,B²,...,B^(d) 为独立的布朗运动。

换句话说，d维布朗运动 取值于 R ^(d)，而它在 R,R ²,...,R ^(d-1) 空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

设 C(R ⁺,R) 为从 R ⁺ 到 R 的连续函数空间， (Ω,T,P) 为概率空间。布朗运动为映射 （公式略）

ω （公式略）.

Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为 W(dω),是映射B关于 P (dω) 的图测度。

换句话说， W是 C(R ⁺,R) 上的一个概率测度，满足对于任何 A⊂ C(R ⁺,R)，有 W(A)=P ((Bₜ)_(t≥ 0)∈ A)。

备忘

布朗运动是一种增量服从正态分布的莱维过程。

这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。

我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为 t 的随机过程为布朗运动。

性质

布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何 ω ∈ Ω,轨道 （公式略） 为一个连续但是零可微的函数。

协方差 E [BₛBₜ]=min(s,t)。

布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件 [T<∞ ],过程 (Bₜᵀ)_(t≥ 0):=(B_(T+t)-B_(T))_(t≥ 0) 为一个独立于 (Bₛ)_(0≤ s<T) 的布朗运动。

它的Fourier变换或特征函数为 （公式略）。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。

布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, (Bₜ₊ₛ-Bₛ)_(t≥ 0) 是一个独立于 (B_(u))_(0≤ u≤ s) 的布朗运动。

-B是一个布朗运动。

（稳定性） 对于c > 0， （公式略） 是布朗运动。

（时间可逆性） (tB_(1/t))_(t>0) 在t=0之外是布朗运动。

（常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的： （公式略）,集合 （公式略） 不是有界的，对于任何 x∈ R ^(d)， d≥ 3, lim _(t→ ∞)||Bₜ||=+∞ （几乎处处）。

（反射原理） （公式略）

布朗运动的数学构造

利用Kolmogorov一致性定理

设 (fₜ)_(t∈ R ₊) 为 L²(R ₊) 空间中一列实值函数。设： ∀ (u,v)∈ R ₊, s(u,v)=⟨ f_(u),f_(v)⟩ _(L²(R ₊))=∫ _(R) ₊f_(u)(x)f_(v)(x)dx

这列函数满足： ∀ k∈ N ^(*)，任意的 t₁,...,tₖ∈ R ₊,矩阵 (s(tᵢ,tⱼ))_(1≤ i,j≤ k) 为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程 （公式略），它的均值 m 任意， 协方差为上面定义的 s。

当 (fₜ)_(t∈ R ₊)=(√c.1 1_([0,t]))ₜ∈ R ₊， c>0 为不依赖于t的常数， 1 1_([0,t]) 为 [0,t] 上的示性函数。则： s(u,v)=c∫ _(R)1 1_([0,u])(s)1 1_([0,v])(s)ds=c.min(u,v)

在这个情况下，矩阵 (s(tᵢ,tⱼ))_(1≤ i,j≤ k) 是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。 c=Var(B₁)，当 c=1 时， 称之为 标准的布朗运动.

利用随机过程

Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。 （公式略）

其中（Un, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

利用傅立叶级数

设2列独立的正态 N(0,1) 随机变量序列 (Nₖ,k∈ N) 和 (N'ₖ,k∈ N)。定义 (Bₜ)_(t≥ 0)： （公式略）

为布朗运动。

争议

对于布朗运动之误解

值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。

一般而言，花粉之直径分布于30～50μm、最小亦有10μm之谱，相较之下，水分子直径约0.3nm（非球形，故依部位而有些许差异。），略为花粉的十万分之一。因此，花粉难以产生不规则振动，事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中，“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味着“自花粉粒中迸出之微粒子”，而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时，时常受到误解，以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下，在大众一般观念中，此误会已然根深蒂固。

在日本，以鹤田宪次‘物理学丛话’为滥觞，岩波书店‘岩波理科辞典’、花轮重雄‘物理学読本’、汤川秀树‘素粒子’、坂田昌一‘物理学原论（上）’、平凡社‘理科辞典’、福冈伸一著‘生物与无生物之间’，甚至日本的理科课本等等，皆呈现错误之叙述。

直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书‘植物之SEX‐不为人知的性之世界’中，点出此误谬之前，鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影‘回动粒子’（1970年）时，实际摄影漂浮在水中之花粉，却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月，以“外行人与专家之间”为题，解说有关布朗运动之误会。