密克定理

定理陈述

三圆定理：设三个圆 C₁, C₂, C₃ 交于一点 O，而 M, N, P 分别是 C₁ 和 C₂, C₂ 和 C₃, C₃ 和 C₁ 的另一交点。设 A 为 C₁ 的点，直线 MA 交 C₂ 于 B，直线 PA 交 C₃ 于 C。那么 B, N, C 这三点共线。

逆定理：如果 （公式略） 是三角形， M, N, P 三点分别在边 AB, BC, CA 上，那么三角形 （公式略）, （公式略）, （公式略） 的外接圆交于一点 O。

完全四线形定理：如果 ABCDEF 是完全四线形，那么三角形 （公式略）, （公式略）, （公式略）, （公式略） 的外接圆交于一点 O，称为密克点。

四圆定理：设 C₁, C₂, C₃, C₄ 为四个圆， A₁ 和 B₁ 是 C₁ 和 C₂ 的交点， A₂ 和 B₂ 是 C₂ 和 C₃ 的交点， A₃ 和 B₃ 是 C₃ 和 C₄ 的交点， A₄ 和 B₄ 是 C₁ 和 C₄ 的交点。那么 A₁, A₂, A₃, A₄ 四点共圆当且仅当 B₁, B₂, B₃, B₄ 四点共圆。

五圆定理：设 ABCDE 为任意五边形，五点 F, G, H, I, J 分别是 EA 和 BC, AB 和 CD, BC 和 DE, CD 和 EA, DE 和 AB 的交点，那么三角形 （公式略）, （公式略）, （公式略）, （公式略）, （公式略） 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆。需要注意这样构造出的圆并不穿过五个外接圆的圆心。

几何中的五圆定理是指，五个顺次相交的圆，其圆心和一个交点位于第六个圆上，将另一个交点两两连接并延长和圆相接，可以构成五角星。

逆定理：设 C₁,, C₂, C₃, C₄, C₅ 五个圆的圆心都在圆 C 上，相邻的圆交于 C 上，那么把它们不在 C 上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。

历史

1838年密克在刘维尔的期刊《纯粹与应用数学杂志》发表了该定理的一部分。

密克的第一条定理，是很久前已有的著名经典结果，以圆周角定理证明。

完全四线形四圆的交点现在称为密克点，但这性质施泰纳在1828年已经知道，华莱士也很可能已经知道。

五圆定理是一条更一般的定理的特殊情形。这条定理由克利福德提出及证明。

2000年12月20日，中共中央总书记江泽民到访澳门并出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的问题，令问题重新引起广泛兴趣，五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。

孔涅在2002年10月的一个研讨会也重提这问题。