麦卡托投影法1569

墨卡托投影的缺点是其会使高纬度地区面积变形失真，纬度越高变形越严重：赤道地区几乎没有变形问题，但接近南北极的高纬度地区（如格陵兰）面积可被失真放大数倍之多。虽则如此，但因为大部分国际航线均位于南北回归线之间的低纬度地带，墨卡托投影法于该等区域中的变形程度尚算可接受，故仍被广泛应用为目前世上最普及的地图投影法。

数学计算

下列公式在使用墨卡托投影的地图中，从纬度φ和经度λ（其中λ0是本初子午线）推导为坐标系中的坐标x和y。

这是古德曼函数的逆推导： （公式略）

这是古德曼函数： （公式略）

比例尺与纬度φ的正割成比例，越趋向极地（φ = ±90°）面积变形越大。此外，由公式可知，极点处的y值为正负无穷大。

公式推导

假设地球为正球形。（实际上并非为正球形，而是有扁率的，但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确，可插入等角纬线。）我们需要将经纬度坐标（λ, φ）转换为笛卡尔坐标(x, y)，求以赤道为基准的切柱面投影（即x = λ），并保持形状不变，故： (∂ x)/(∂ λ)=cos(φ)(∂ y)/(∂ φ)

• ∂ (∂ y)/(∂ λ)=-cos(φ)(∂ x)/(∂ φ)
• 从 x = λ 可知 (∂ x)/(∂ λ)=1
• ∂ (∂ x)/(∂ φ)=0
• 给出 1=cos(φ)(∂ y)/(∂ φ)
• 0=(∂ y)/(∂ λ)
• 因此，y是φ的唯一函数，且可得到 （公式略），由积分表 （公式略）

在地图中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.

错觉

由于墨卡托投影会使高纬度地区面积严重失真变形，因此墨卡托地图会令使用者对该等地区产生面积错觉。比如地处北极圈的世界第一大岛格陵兰在墨卡托地图上的面积堪比非洲大陆，但其实际面积事实上甚至略小于印度。地处赤道的世界第二大岛新几内亚在墨卡托地图上的面积与和日本相若，但前者实际面积比后者大接近一倍。

• 以下是实际面积（单位：平方公里）
• 格陵兰：2,166,086平方公里
• 印度：3,237,363平方公里
• 日本：378,000平方公里
• 新几内亚岛：786,000平方公里