塞弗特－范坎彭定理

定理叙述

设 X 为拓扑空间，有两个开且道路连通的子空间 U₁,U₂ 覆盖 X，即 X=U₁∪ U₂，并且 U₁∩ U₂ 是非空且道路连通。取 U₁∩ U₂ 中的一点 x₀ 为各空间的基本群的基点。那么从 U₁∩ U₂ 到 U₁ 及 U₂ 的包含映射导出相应基本群的群同态：（以下省略基本群中的基点。） φ ₁:π ₁(U₁∩ U₂)→ π ₁(U₁)

ϕ φ ₂:π ₁(U₁∩ U₂)→ π ₁(U₂)

塞弗特－范坎彭定理指出 X 的基本群，是 U₁,U₂ 的基本群的共合积： π ₁(X)=π ₁(U₁)*_π ₁(U₁∩ U₂)π ₁(U₂)

用范畴论来说， π ₁(X) 是在群范畴中图表 π ₁(U₁)← π ₁(U₁∩ U₂)→ π ₁(U₂)

的推出。

这定理可以推广至 X 的任意多个开子空间的覆盖：

设 X 为道路连通拓扑空间， x₀ 为 X 的一点， （公式略） 由道路连通的开集组成，为 X 的开覆盖，

任何一个 U_(λ) 都有点 x₀，

对任何 λ,μ ∈ Λ，都有 ν ∈ Λ，使得 U_(λ)∩ U_(μ)=U_(ν)。

当 U_(λ)⊂ U_(μ)，令 φ _(λ μ):π ₁(U_(λ))→ π ₁(U_(μ))

为由包含所导出的群同态。又令 ψ _(λ):π ₁(U_(λ))→ π ₁(X)

为由 U_(λ)⊂ X 所导出的群同态。那么 π ₁(X) 有下述的泛性质：

设 H 为群，对所有 λ ∈ Λ 有群同态 ρ _(λ):π ₁(U_(λ))→ H，使得若 U_(λ)⊂ U_(μ)，则 ρ _(μ)∘ φ _(λ μ)=ρ _(λ)。

那么存在唯一的群同态 σ:π ₁(X)→ H，使得对所有 λ ∈ Λ，都有 ρ _(λ)=σ ∘ ψ _(λ)。

这个泛性质决定唯一的 π ₁(X)。（不别群同构之异。）