托勒密定理

证明

几何证明

设 ABCD 是圆内接四边形。

在弦 BC 上，圆周角 ∠ BAC=∠ BDC，而在 AB 上， ∠ ADB=∠ ACB。

在 AC 上取一点 K，使得 ∠ ABK=∠ CBD； 因为 ∠ ABK+∠ CBK=∠ ABC=∠ CBD+∠ ABD，所以 ∠ CBK=∠ ABD。

因此 （公式略） 与 （公式略） 相似，同理也有 （公式略） 相似于 （公式略）。

• 因此 AK/AB=CD/BD，且 CK/BC=DA/BD；
• 因此 AK· BD=AB· CD，且 CK· BD=BC· DA；
• 两式相加，得 (AK+CK)· BD=AB· CD+BC· DA；
• 但 AK+CK=AC，因此 AC· BD=AB· CD+BC· DA。即得证

和差化积证明

设弦 AB， BC 及 CD 对应的圆周角分别为 α， β 及 γ，外接圆的半径为 R，则有 AB=2Rsin α， BC=2Rsin β， CD=2Rsin γ， AD=2Rsin(α +β +γ)， AC=2Rsin(α +β) 及 BD=2Rsin(β +γ)。于是，原托勒密等式化为 sin(α +β)sin(β +γ)=sin α sin γ +sin β sin(α +β +γ)。

现在，只需用和差化积公式，即可推得上式两边都等于 （公式略）。即得证。

复数证明

用 a、 b、 c、 d 分别表示四边形顶点 A、 B、 C、 D 的复数，则 AB、 CD、 AD、 BC、 AC、 BD 的长度分别是： (a-b)、 (c-d)、 (a-d)、 (b-c)、 (a-c)、 (b-d)。

首先注意到复数恒等式： (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，运用三角不等式得 ‖(a-b)(c-d)‖+‖(a-d)(b-c)‖≥ ‖(a-c)(b-d)‖。

等号成立的条件是 (a-b)(c-d) 与 (a-d)(b-c) 的辐角相等，这与 A、 B、 C、 D 四点共圆等价。因此托勒密定理得证。

复数证明中的复数可以换成赋范向量空间中的向量。这说明了定理中的四点不一定限于同一平面。

逆定理的几何证明

用几何方法也可以同时证明托勒密定理以及它的逆定理。设 ABCD 为任意一个凸四边形。作三角形 APB 与三角形 DCB 顺相似，则会有： ∠ ABP=∠ DBC （红色角）

因此， ∠ ABD=∠ PBC

同时，根据相似三角形的性质还有： AB/DB=PB/CB

由此可知三角形 ABD 与三角形 PBC 也是顺相似三角形。这两个顺相似关系说明： AB· CD=AP· BD

AD· BC=PC· BD

两式相加，得到： （公式略）

等号成立当且仅当 A、 P、 C 三点共线，也就等价于 ∠ BAC=∠ BAP=∠ BDC， ∠ BCA=∠ BCP=∠ BDA 因此有 ∠ ABC+∠ ADC=∠ ABC+∠ ADB+∠ BDC=∠ ABC+∠ PCB+∠ BAP

= =∠ ABC+∠ BAC+∠ BCA=π

即是等价于 A、 B、 C、 D 四点共圆。因此命题得证。

反演的证明

使用反演方法，可以得出托勒密定理与三角不等式互为对偶命题的结论。事实上，设有凸四边形 ABCD 内接于圆，那么以其中一点 D 为中心，以半径 r 作反演，则圆变为不过点 D 的直线，点 A、 B、 C 变为这条直线上的三点： A'、 B'、 C'。这三点之间有： A'B'+B'C'=A'C' (*)

• 而反演变换中的长度关系为： （公式略）
• 代入 (*) 式就得到： （公式略）
• 通分，并除以 r²，就可得到： AB· CD+AD· BC=AC· BD

而如果 A、 B、 C、 D 四点不共圆的话，那么以 D 为中心反演之后的三个点 A'、 B'、 C' 将在另一个圆上，因此不共线。 (*) 式里的等号也要改为大于等于号。这正是托勒密定理。

与西姆松定理的关系

西姆松定理也是一个与四点共圆有关的定理。利用圆内接四边形边长之间的三角关系，可以将托勒密定理作为西姆松定理的推论。

西姆松定理说明：过一个三角形 ABC 外的一点 P 作它到三角形三边的垂线，设垂足分别是 L,N,M （如左图），那么 L,N,M 这三个点在同一条直线上当且仅当 P 在三角形 ABC 的外接圆上（也就是说 A,B,C,P 四点共圆）。

注意到由于 ∠ PLB 与 ∠ PNB 都是直角， L,B,N,P 四点共圆，并且这个圆的直径就是 PB。因此： LN=PBsin ∠ LBN=PBsin ∠ ABC

• 而根据圆内弦长的关系，有： AC=2Rsin ∠ ABC
• 其中 R 为外接圆的半径。所以代入上式就可得到： LN=(PB· AC)/2R
• 同理可得： NM=(PA· BC)/2R, LM=(PC· AB)/2R
• 而在三角形 LNM 中，两边长之和大于第三边： （公式略）
• 所以有： （公式略）

等号当且仅当 L,N,M 共线，也就是 A,B,C,P 四点共圆的时候取得。这正是托勒密定理。

推广

托勒密定理的一个推广是开世定理。开世定理将圆内接四边形的四个顶点换为与外接圆相内切的四个小圆，而四边形的边变为圆与圆之间的外公切线。开世定理可以看做是“利用托勒密定理惨淡经营得到的结果”。

对一般的四边形，托勒密定理给出了它的对角线与边长之间的不等关系。如果要掌握更为精确的关系，可以通过以下的公式： AC²· BD²=AB²· CD²+BC²· AD²-2AB· BC· CD· DA· cos(∠ ABC+∠ ADC)

由这个公式可以推出托勒密定理： cos(∠ ABC+∠ ADC) 的绝对值小于等于1，所以 AC²· BD²=AB²· CD²+BC²· AD²-2AB· BC· CD· DA· cos(∠ ABC+∠ ADC)

• . （公式略）
• 也就是说 （公式略）
• （公式略）

等号仅在 cos(∠ ABC+∠ ADC)=-1，也就是说 ∠ ABC+∠ ADC=π 的时候取到，这正好等价于四边形内接于圆。

参考书籍

R.A.约翰逊，单墫 译. 《近代欧氏几何学》. 上海教育出版社. ISBN 7-5320-6392-5.

蔡聪明. 《星空灿烂的数学——托勒密定理》 (PDF). 《数学传播》. 2000, 24卷1期. （原始内容 (PDF)存档于2007-02-08）.