最大流最小割定理

最大流最小割定理是线性规划中的对偶问题的一种特殊情况，并且可以用来推导门格尔定理和König–Egerváry定理。

定义

最大流和最小割定理是图论的一部分，因此为了准确定义，我们需要先定义图、流、割，然后再定义这个定理。

图

设 G=(V,E) 为一个有向图，其中有一个起源点 s 和一个超汇点 t，代表 s 是所有流的源头， t 是所有流的终点。这个图的每一条边都有一个容量 c: E → R+，记做 c_(uv) 或者 c(u,v)，代表着能通过边 (u,v) 的最大流量。

最大流

定义： 流量代表一种映射 f:E→ R ⁺，记做 f_(uv) 或者 f(u,v)，代表通过边 (u,v) 的流量。每一条边所通过的流有以下两个限定条件：

流量限制： f_(uv)≤ c_(uv) ∀ (u,v)∈ E. 也就是说，一条边上的流量不可以超过它的容量。

流量守恒： （公式略） 也就是说，除了源点和汇点以外，进入一个节点的流量等于流出这个节点的流量，节点内不能保存流。

规定在一个图中，流的值是 |f|=∑ _(v:(s,v)∈ E)f_(sv)=∑ _(v:(v,t)∈ E)f_(vt).

也就是说，一个图的流是自其源点流出的流量之和，也是向其汇点流入的流量之和。或者说，由源点向汇点移动多少内容，这个图的流就是多少。

最大流问题：计算 |f| 的最大值，即从 s 到 t 的最大流量。

最小割

定义： s-t割 C=(S,T) 将图 G 完全划分为两部分，使得 s∈ S,t∈ T, 也就是一侧有源，一侧有汇。 C 的割集 X_(C) 是 （公式略） 也就是说，一条边当且仅当骑在这个划分方法上，一个节点位于划分出来的源侧，另一个位于汇侧，那么它包含在 X_(C) 里。因此如果 C 的割集是空集，或者我们把一个割集里的边全都从图中拿走，则 |f|=0。通俗地说，割集就是一个图的断面，而割则是划分断面的方法。

规定在一个图中，s-t割的容量是 c(S,T)=∑ _(u,v)∈ X_(C)c_(uv)=∑ _((i,j)∈ E)cᵢⱼdᵢⱼ, 其中当 i∈ S,j∈ T 时， dᵢⱼ 为 1, 否则为 0。

通俗地说，割的容量就是断面中所有边的总容量。

最小 s-t 割问题： 计算 c(S,T) 的最小值。即找到一种割法，使割的容量最小。也就是说，找到通过能力最弱的断面。

主定理

可以证明一切流都不能超过任何s-t割，所以经过图的最大流就是图的最小割。我们直观上就可以知道，通过能力最弱的断面就是整个网络的最大流量。这个理论把最大流问题和最小割问题联系了起来。

线性规划公式

最大流最小割问题可以被看做为一对线性规划对偶问题。

最大流的线性规划公式是容易理解的，对于最小割的线性规划公式的理解如下： （公式略）

（公式略）

最小化目标是使在割中的边最小。

下列限制保证了这些变量可以确保一个合法的割。

限制 d_(uv)-z_(u)+z_(v)≥ 0 (即 d_(uv)≥ z_(u)-z_(v)) 确保了对两个非源点或汇点 u,v, 如果u 在 S中 且 v 在 T中, 那么边 (u,v)一定会被记在割中 ( d_(uv)≥ 1)。

限制 d_(sv)+z_(v)≥ 1 (即 d_(sv)≥ 1-z_(v)) 确保了如果 v 在 T 中, 那么边 (s,v) 一定会被记在割中。

限制 d_(ut)-z_(u)≥ 0 (即 d_(ut)≥ z_(u)) 确保了 u 在 S 中, 那么边 (u,t) 一定会被记在割中。

需要注意的是，这是一个最小化问题，我们不需要确保一条边不在割里，我们只要保证每条应当在割里的边被计算了。

注意到在给定的 s-t 割 C=(S,T) 中，如果 i∈ S 那么 zᵢ=1 并且 0 反之。 所以 zₛ 应该等于 1 并且 zₜ 应该等于0。由线性规划中的强对偶定理推得最大流最小割问题中的等式，也就是说如果原问题有一个最优解 x*，则对应问题也有一个最优解 y*，并且两个解相等。

举例

上图是一个网络，上有流量为 7 的流。令 S 集合和 T 集合分别包含所有白色和灰色的点， 从而形成了一个割集包含图中虚线的 s-t 割，并且其容量为 7，与流量相同。故由大流最小割定理知，前述的流与 s-t 割皆达到流量及容量的极值。

应用

广义最大流最小割定理

额外规定映射 c: V→ R⁺ 为点的容量，记做 c(v)，使得一个流 f 不只要满足边的流量限制与流量守恒，还要满足点的流量限制，即 （公式略）

换句话说，流过 v 点的总流量不能超过 v 的容量 c(v)。一个 s-t 割 的定义为一个包含一些点和边的集合，满足与任一条由 s 到 t 的路径皆不互斥。并且 s-t 割的容量 定义成所有点和边的容量总和。

在此定义之下，广义最大流最小割定理的叙仍为流量的最大值等于所有 s-t 割的容量最小值。

门格尔定理

不共边路径问题为给定无向图 G=(V,E) 及两顶点 s、t，求从 s 到 t 彼此没有共同边的路径数量的最大值。

门格尔定理的叙述为从 s 到 t 彼此没有共同边的路径数量的最大值等于在所有 G 的 s-t 割(以原本的定义)中，顶点分别在不同集合的边数的最小值。

计划选择问题

计划选择问题叙述如下：当下有 n 个计划 p₁,…,pₙ 可以被实施、m 种设备 q₁,…,qₘ 可以被购买，要执行计划必须拥有该计划要求的设备，执行计划 pᵢ 可获得 r(pᵢ) 的收益，但购买设备 qⱼ 要支付 c(qⱼ) 的费用。如何选择执行计划并购买所需设备以获得净利的最大值？

设 P 为不被执行的计划的集合，Q 为所购买的设备，则问题变成求最大值 max _(P,Q)∑ ᵢ₌₁ⁿr(pᵢ)-∑ ₚᵢ∈ Pr(pᵢ)-∑ _(q)ⱼ∈ Qc(qⱼ)

注意到 ∑ ᵢr(pᵢ) 与 P、Q 的选择无关，故只需求后两项和的最小值，即 min _(P,Q)∑ ₚᵢ∈ Pr(pᵢ)+∑ _(q)ⱼ∈ Qc(qⱼ)

现在考虑一个网络，起源点 s 连接到 n 个点 p₁,…,pₙ，边的容量分别为 r(pᵢ)，超汇点 t 连接到 m 个点 q₁,…,qₘ，边的容量分别为 c(qⱼ)，若执行任务 pᵢ 需购买设备 qⱼ，则在 pᵢ、 qⱼ 之间连上一条容量为无限大的边，若不需购买设备，则不连上边。则 ∑ ₚᵢ∈ Pr(pᵢ)+∑ _(q)ⱼ∈ Qc(qⱼ) 对应到一个 s-t 割的容量，其中的两个集合是要执行的计划与要购买的设备和它的余集，也就是 （公式略）

在此， （公式略）， （公式略）。于是，原问题转成求该图的最大流问题，并且可以借由各种算法求得其极值。

以下给出一个计划选择问题的例子，右图是该问题对应到的网络。

该网络的最小 s-t 割是选择计划 p2、p3 与设备 q2、q3，容量为 250。三个计划的总收益是 450，因此最大净利为 450 − 250 = 200。

以上解法可以理解为将计划所给予的收益流过所需设备，如果无法流满设备至 t 的边，代表执行计划不合成本，最小割将选择穿过 s 到计划的边而非穿过设备到 t 的边。

影像分割问题

设原图有 n 像素，想要把该图分割为前景和背景，并且将 i 像素归类为前景有效益 fi，归类为背景有效益 bi，但是若 i、j 像素相邻且被归类为不同块，则会减少 pij 的效益。求将该图分割为前后景的最有效益方法。

令 P 为前景的集合，Q 为背景的集合，于是问题转化成求最大值 max _(P,Q)∑ _(i∈ P)fᵢ+∑ _(i∈ Q)bᵢ-∑ _(i∈ P,j∈ Q∨ j∈ P,i∈ Q)pᵢⱼ

因为 fi、 bi 的总合是与 P、Q的选取无关，因此等价于求以下最小值 min _(P,Q)∑ _(i∈ Q)fᵢ+∑ _(i∈ P)bᵢ+∑ _(i∈ P,j∈ Q∨ j∈ P,i∈ Q)pᵢⱼ

以上的最小值问题可以被描述为一个网络的最小割问题，其中该网络如右图，以橘点为起源点；紫点为超汇点。各个像素被描述为网络的顶点，起源点至第 i 个像素连上一条容量为 fi 的有向边；第 i 个像素至超汇点连上一条容量为 bi 的有向边。相邻的像素 i、j 之间连上来回两条容量为 pij 的有向边。则一个 s-t 割代表一种将部分像素归类为前景 P、其余归类为背景 Q 的安排。

历史

最大流最小割问题最早在1956年被P. Elias, A. Feinstein，和 C.E. Shannon 证明， 并且L.R. Ford, Jr. 和 D.R. Fulkerson 也在同年证明了该定理。

证明

同之前的设定，G = (V, E) 是一个网络(有向图)，s 点和 t 点分别为 G 的起源点和超汇点。

将所有流考虑成一个欧式空间的有界闭子集，满足流量限制与流量守恒，而流量是一个连续函数，因此有极大值 |f|。

• 设 f 达到最大流，令 (Gf ) 是 f 的残留网络，定义
• A：在 (Gf ) 中可以从 s 出发到达的点
• Ac：A 以外的点，即 V − A

换句话说，v∈A 当且仅当 s 可以流出更多流量到 v。

我们宣称 |f|=c(A,A^(c))，其中该 s-t 割的容量定义为 c(S,T)=∑ _((u,v)∈ (S× T)∩ E)c_(uv).

由于 |f| 的大小等于所有流出集合 A 的流量总和减所有流入集合 A 的流量总和，故 |f|≤ c(A,A^(c))，并且等号成立当且仅当

所有从 A 流向 Ac 的边流量均已达饱和。

所有从 Ac 流向 A 的边流量均为 0。

我们用反证法分别证明以上两点：

假设存在从 A 流向 Ac 的边 (x,y)∈ A× A^(c) 并未达到饱和，即 f(x,y)<c_(xy)。因此，可以从 x 流更多的流量到 y，(x,y) 是 Gf 的一条边。由 x∈A 知 Gf 图中有一条中的路径从 s 到 x，其中只经过 A 中的点， 所以 y∈A，产生矛盾。是故所有从 A 流向 Ac 的边流量均已达饱和。

假设存在从 Ac 流向 A 的边 (y,x)∈ A^(c)× A 其流量不为 0，即 f(x,y)>0。因此，可以从 y 流更少的流量到 x，(x,y) 是 Gf 的一条边。由 x∈A 知 Gf 图中有一条中的路径从 s 到 x，其中只经过 A 中的点， 所以 y∈A，产生矛盾。是故所有从 Ac 流向 A 的边流量均为 0。

于是，声称得证。

由于流量恒不超过容量，|f| 是容量的下界，所以 c(A,A^(c)) 是容量的最小值，由声称知，最大流最小割定理得证。