华林问题

与四平方和定理之关系

在三世纪时，数学家丢番图首先提出“是否每一个正整数都是四个平方数之和”的问题。1730年，欧拉开始研究该问题，但未得出证明。

第一个给出完整证明的是拉格朗日，他的证明用了欧拉的一个公式： （公式略）

后来欧拉也给出另一证明。

华林猜想

1770年，华林发表了《代数沉思录》（Meditationes Algebraicae），其中说，每一个正整数至多是 9 个立方数之和；至多是 19 个四次方之和。还猜想，每一个正整数都是可以表示成为至多 r 个 k 次幂之和，其中 r 依赖于 k。

研究进展

1909年，大卫·希尔伯特首先用复杂的方法证明了 g(k) 的存在性。1943年，U.V.林尼克给出了关于 g(k) 存在性的另一个证明。然而，尽管 g(k) 的存在性已被证明，人们尚且无法知晓 g(k) 与 k 之间的关系。华林自己推测 g(2)=4， g(3)=9， g(4)=19。

1770年，拉格朗日证明了四平方和定理，指出 g(2)=4。1909年亚瑟·韦伊费列治证明了 g(3)=9。

1859年，刘维尔证明了 g(4)≤ 53，他的想法是借助一个恒等式（Liouville polynomial identity）： 6n²=6(x₁²+x₂²+x₃²+x₄²)²=∑ _(i<j)(xᵢ+yⱼ)⁴+∑ _(i<j)(xᵢ-yⱼ)⁴

后来哈代和李特尔伍德得到 g(4)≤ 21，1986年巴拉苏布拉马尼安证明了 g(4)=19。1896年马力特得到 g(5)≤ 192；1909年韦伊费列治将结果改进为 g(5)≤ 59；1964年陈景润证明了 g(5)=37。

事实上，莱昂哈德·欧拉之子J.A.欧拉猜想： （公式略）

（" （公式略） "表示对 q 向下取整）（也就是只要看小于 3^(k) 的正整数当中，最多只需要几个 k 次方数的和，就可以了，例如 k=4 的情形，小于 81 的数字当中，最多的就是 79，需要 19 个四次方数，因此有 g(4)=19）。

至1990年，对于 6≤ k≤ 471600000，此式已经被计算机验证为正确。

更强的问题

由于 g(k) 的值严重依赖于正整数较小时的情况，人们提出了一个更强的问题，求对于每个充分大的正整数，可使它们分解为 k 次方数的个数 G(k)。此问题进展较慢，至今 G(3) 仍无法确定。

其他推广

华林-哥德巴赫问题

陈述：对于任何一个正整数 n，是否存在一个数 k，使得每个充分大的整数都可以表示为 k 个质数的 n 次幂的和？

此问题在1938年已被华罗庚证明成立。

表法数问题

任给一个正整数都是可以表为四个平方数之和。进一步，给定一个正整数，表示成为四个平方数的不同表示法有多少种？这问题已由雅可比给出了解答。

但是，对于立方和，四次方和等等的情况，仍然非常困难。

不限于正整数

考虑用有理数的方幂和来表示正有理数。