四平方和定理

历史

1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个以下的恒等式： （公式略）

根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数 m 和 n 能表示为4个整数的平方和，则其乘积 mn 也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 p，同余方程 （公式略）

必有一组整数解x，y满足 0≤ x<p/2， 0≤ y<p/2 （引理一）

至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

证明

根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理，可知只需证明素数可以表示成四个整数的平方和即可。 2=1²+1²，因此只需证明奇素数可以表示成四个整数的平方和。

根据引理一，奇素数 p 必有正倍数可以表示成四个整数的平方和。在这些倍数中，必存在一个最小的。设该数为 m₀p。又从引理一可知 m₀<p。

证明： m₀ 不会是偶数

设 m₀ 是偶数，且 m₀p=x₁²+x₂²+x₃²+x₄²。由奇偶性可得知必有两个数或四个数的奇偶性相同。不失一般性设 x₁,x₂ 的奇偶性相同， x₃,x₄ 的奇偶性相同， x₁+x₂,x₁-x₂,x₃+x₄,x₃-x₄ 均为偶数，可得出公式： （公式略）

（公式略），与 m₀ 是最小的正整数使得的假设 m₀p 可以表示成四个整数的平方和不符。

证明： m₀=1

现在用反证法证明 m₀=1。设 m₀>1。 m₀ 不可整除 xᵢ 的最大公因数，否则 m₀² 可整除 m₀p，则得 m₀ 是 p 的因数，但 1<m₀<p 且p为素数，矛盾。

故存在不全为零、绝对值小于 1/2m₀ （注意 m₀ 是奇数在此的重要性）整数的 y₁,y₂,y₃,y₄ 使得 （公式略）。 0<∑ yᵢ²<4(1/2m₀)²=m₀²

∑ （公式略）

可得 ∑ yᵢ²=m₀m₁，其中 m₁ 是正整数且小于 m₀。

下面证明 m₁p 可以表示成四个整数的平方和，从而推翻假设。

令 ∑ zᵢ²=∑ yᵢ²× ∑ xᵢ²，根据四平方和恒等式可知 zᵢ 是 m₀ 的倍数，令 zᵢ=m₀tᵢ， ∑ zᵢ²=∑ yᵢ²× ∑ xᵢ²

m₀²∑ tᵢ²=m₀m₁m₀p

∑ ∑ tᵢ²=m₁p<m₀p

矛盾。

引理一的证明

将和为 p-1 的剩余两个一组的分开，可得出 (p+1)/2 组，分别为 (0,p-1),(1,p-2),...,((p-1)/2,(p-1)/2)。

将模 p 的二次剩余有 (p+1)/2 个，分别为 0,1²,2²,...,((p-1)/2)²。

若 (p-1)/2 是模 p 的二次剩余，选取 x<p/2 使得 x²≡ (p-1)/2，则 （公式略），定理得证。

若 (p-1)/2 不属于模 p 的二次剩余，则剩下 (p-1)/2 组，分别为 (0,p-1),(1,p-2),...,((p-3)/2,(p+1)/2)，而模 p 的二次剩余仍有 (p+1)/2 个，由于 (p+1)/2>(p-1)/2，根据抽屉原理，存在 （公式略）。