自然底数

e，亦称自然常数、自然底数，或是欧拉数（Euler's number），是无理数的数学常数，以瑞士数学家欧拉命名；还有个较少见的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数，数值约是（小数点后20位， A001113）： e=2.71828182845904523536⋯，近似值为 271801/99990。

有许多的函数都和 e 有关：自然对数函数的底数即为 e，数学中的指数函数也常是指以 e 为底数的指数函数。

历史

约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表中第一次提到常数 e，但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为这是由威廉·奥特雷德制作的。第一次把 e 看为常数的是雅各布·伯努利，他尝试计算下式的值： lim _(n→ ∞)(1+1/n)ⁿ

上式代表把1与无穷小相加，再自乘无穷多次。

已知的第一次用到常数 e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以 b 表示。1727年欧拉开始用 e 来表示这常数；而 e 第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然往后年日有研究者用字母 c 表示，但 e 较常用，终于成为标准。

用 e 表示的原因确实不明，但可能因为 e 是指数函数（exponential）一字的首字母。另一看法则称 a,b,c,d 有其他经常用途，而 e 是第一个可用字母。

定义

就像圆周率 π 和虚数单位 i， e 是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义，下面列出一部分。

• 定义 e 为下列极限值： e=lim _(n→ ∞)(1+1/n)ⁿ
• e=lim _(t→ 0)(1+t)^(1/t)
• 定义 e 为阶乘倒数之无穷级数的和： （公式略）

其中 n! 代表 n 的阶乘。

定义 e 为唯一的正数 x 使得 ∫ ₁^(x)(d t)/t=1

定义 e 为唯一的实数 x 使得 （公式略）

这些定义可证明是等价的，请参见文章指数函数的特征描述。

性质

指数增长或指数衰减过程都可以用指数函数表示。指数函数 e^(x) 的重要性在于，唯独该函数（或其常数倍，即 （公式略），其中 k 为任意常数）与自身导数相等。即： d/dxe^(x)=e^(x)。 e^(x) 的泰勒级数为 （公式略）

= （公式略）

x 为复数时依然成立，因此根据 sin x 及 cos x 的泰勒级数，得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式： e^(i x)=cos x+isin x

当 x=π 的特例是欧拉恒等式： e^(i π)+1=0

此式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。 (cos x+isin x)ⁿ=(e^(ix))ⁿ=e^(inx)=cos(nx)+isin(nx)

即棣莫弗公式。 e 是无理数和超越数（见林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。这是第一个获证为超越数的数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。有猜想它为正规数。

当 x=e 时函数 （公式略） 有最大值。 e 的无穷连分数展开式有个有趣的模式，可以表示如下（ A003417） e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,… ]

就像以下的展开式： （公式略）

无理数证明

反证法

证明 e 是无理数可以用反证法。假设 e 是有理数，则可以表示成 a/b ，其中 a,b 为正整数。以 e 的无穷级数展开式可以得出矛盾。

考虑数字 （公式略），

以下将推导出 x 是小于1的正整数；由于不存在这样的正整数，得出矛盾，所以得证 e 是无理数。 x 是整数，因为 （公式略）

= （公式略）

= =a(b-1)!-[1+∑ ₙ₌₀^(b-1)b(b-1)⋯ (n+1)]。 x 是小于1的正数，因为 （公式略）

= =1/(b+1)+1/((b+1)(b+2))+1/((b+1)(b+2)(b+3))+⋯

< （公式略）。

但是0与1之间（不含0与1）不存在有整数，故原先假设矛盾，得出 e 为无理数。

二项式定理

视 n 为存在的数值，所以用二项式定理可证出： e=lim _(n→ ∞)(1+1/n)ⁿ

• = =lim _(n→ ∞)∑ ₖ₌₀ⁿCₖⁿ1^(n-k)(1/n)^(k)
• = （公式略）
• = （公式略）
• = （公式略）

= =2+1/2+1/6+...

= =2.71828...

谐取

在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2,718,281,828，这当然是取最接近整数的 e 十亿美元。Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14,159,265，与圆周率有关。

Google也是首先在硅谷心脏地带，接着在马萨诸塞州剑桥出现的神秘广告版 的幕后黑手，它写着{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在 e 的连续数字中第一个发现的十位素数.com）。解决了这问题（第一个 e 中的十位素数是7427466391，出奇地到很后才出现，由第100个数字开始），进入网站后还有个更难的题目要解决，最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束，上述网站都已关闭。

著名计算机科学家高德纳的软件Metafont的软件版本号趋向 e （就是说版本号码是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的软件版本号号是趋向于圆周率的。