伯努利数1710

符号

B−n，而B−1 = − 1/2，是美国国家标准技术研究所（NIST）和大多数现代教科书的符号约定。

B+n，而B+1 = + 1/2，在较早的文献中被使用。

由于对所有大于1的奇数 n，伯努利数 Bn = 0，且许多公式中仅使用偶数项的伯努利数，一些作者可能会用Bn来代表 B2n，不过本文不会如此简写。

历史

伯努利数来源于计算等幂求和。定义等幂和如下，其中m, n ≥ 0： Sₘ(n)=∑ ₖ₌₁ⁿk^(m)=1^(m)+2^(m)+⋯ +n^(m)

这数列和的公式必定是变量为n，次数为m +1次的多项式，称为伯努利多项式。伯努利多项式的系数与伯努利数有关系如下： （公式略）

其中(m + 1k) 为二项式系数。

例如，把m取为1，有 1+2+...+n=1/2(B₀n²+2B₁⁺n¹)=1/2(n²+n).

伯努利数最先由雅各布·伯努利研究，他给出了伯努利数的计算方法和所有幂和的统一公式。根据棣莫弗的提议，伯努利多项式中的系数被称为伯努利数。

在1842年的爱达·勒芙蕾丝的分析机笔记的笔记G，第一次记述了一个让电脑产生伯努利数的算法。

定义

伯努利数可以由下列递归公式计算： （公式略）

其中 m=0,1,2...，δ是克罗内克δ函数。

伯努利数也可以用母函数技巧定义。它们的指数母函数是x/（ex − 1），使得对所有绝对值小于2π的x（幂级数的收敛半径），有 （公式略）。

有时会写成小写bn，以便与贝尔数区分。

最初21项伯努利数记于OEIS中的数列A027641和A027642。

可以证明对所有不是1的奇数n有Bn = 0。

数列中乍看起来突兀的B12 = −691/2730，喻示伯努利数不能以初等方式描述；其实它们是黎曼ζ函数于负整数的值，有深邃的数论性质联系，所以不能预期有简单的计算公式。

伯努利数和黎曼ζ函数

欧拉以黎曼ζ函数表达伯努利数为： （公式略）。

在[−1, 0]区间上的连续均匀概率分布的n阶累积量是Bn/n。

伯努利数的算术性质

伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ（1 − n），也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔（Kummer）研究费马大定理时发现的。

伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理（Herbrand-Ribet）描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）给出。伯努利数还和代数K理论有关：若cn是Bn/2n的分子，那样 K₄ₙ₋₂(Z) 的阶是−c2n若n为偶数；2c2n若n为奇数。

与整除性也有关连的是冯·施陶特-克劳森定理（von Staudt-Clausen）。这定理是说，凡是适合p − 1整除n的素数p，把1/p加到Bn上，我们会得到一个整数。这个事实给出了非零伯努利数Bn的分母的特征：这些分母是适合p − 1整除n的所有素数p的乘积；故此它们都无平方因子，也都可以被6整除。

吾乡-朱加猜想猜测p是素数当且仅当pBp−1模p同余于−1。

p进连续性

伯努利数的一个特别重要的同余性质，可以表述为p进连续性。若b，m和n是正整数，使得m和n不能被p − 1整除，及 m≡ n mod p^(b-1)(p-1)，那么 （公式略）。

因为 Bₙ=-nζ (1-n)，这也可以写成 (1-p^(-u))ζ (u)≡ (1-p^(-v))ζ (v) mod p^(b)，

其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同余于1。这告诉我们，黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中去掉 1-p^(z) 后，对适合模p − 1同余于某个 （公式略） 的负奇数上的p进数连续，因此可以延伸到所有p进整数 Z ₚ，得出p进ζ函数。

伯努利数的应用

伯努利数出现在正切和双曲正切函数的泰勒级数展开式、欧拉-麦克劳林公式，及黎曼ζ函数的一些值的表达式。

拓扑

在 n≥ 2 时给出可平行流形边界的怪（4n−1）球，对于它们的微分同胚类的循环群的阶，有凯尔韦尔-米尔诺公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利数。若B是B4n/n的分子，那么这种怪球的数目是 2²ⁿ⁻²(1-2²ⁿ⁻¹)B。（拓扑学文章中的公式与这里不同，因为拓扑学家为伯努利数编号的习惯不同。本文跟随数论家的编号习惯。）