欧拉-马歇罗尼常数1734

它的近似值为 γ ≈ 0.577215664901532860606512090082402431042159335，

欧拉-马斯刻若尼常数主要应用于数论。

历史

该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用 C 作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家洛伦佐·马斯凯罗尼引入了 γ 作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10242080。

性质

与伽玛函数的关系： -γ =Γ '(1)=Ψ (1)。 γ =lim _(x→ ∞)[x-Γ (1/x)]。 （公式略）。

与ζ函数的关系： （公式略）

= （公式略）。 lim _(ε → 0)(ζ (1+ε)+ζ (1-ε))/2=γ

γ γ =3/2-ln 2-∑ ₘ₌₂^(∞)(-1)^(m) (m-1)/m[ζ (m)-1]

• = （公式略）。 （公式略）
• γ （公式略）
• γ γ =lim _(x→ ∞)[x-Γ (1/x)]

= （公式略）。 γ =∑ ₖ₌₁ⁿ1/k-ln(n)-∑ ₘ₌₂^(∞)(ζ (m,n+1))/m

积分： γ =-∫ ₀^(∞)e^(-x)ln x dx=∫ _(∞)⁰e^(-x)ln x dx

• = =-∫ ₀¹ln ln 1/x dx
• = （公式略）
• = =∫ ₀^(∞)1/x(1/(1+x)-e^(-x)) dx
• ∫ ∫ ₀^(∞)e⁻x²ln x dx=-1/4(γ +2ln 2)√(π)

∫ （公式略）。 γ =∫ ₀¹∫ ₀¹(x-1)/((1-x y)ln(x y)) dx dy=∑ ₙ₌₁^(∞)(1/n-ln (n+1)/n)

• ∑ （公式略）
• 级数展开式： γ =∑ ₖ₌₁^(∞)[1/k-ln (1+1/k)]
• γ （公式略）. （公式略）
• γ （公式略）
• γ （公式略）
• γ γ =∫ ₀¹1/(1+x)∑ ₙ₌₁^(∞)x²ⁿ-1 dx

γ γ 的连分数展开式为： γ =[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,...] （OEIS数列A002852）.

• 渐近展开式： （公式略）
• γ （公式略）
• γ （公式略）

相关证明

前面的放缩法主要证明了 [(∑ ₖ₌₁ⁿ1/k)-ln(n)] 单调递减并下有界限（0），所以极限存在。放缩法的结论需要使用ln(1+x)和ln(1-x)的泰勒级数展开进行证明。