欧拉公式1748

其中 e 是自然对数的底数， i 是虚数单位，而 cos 和 sin 则是余弦、正弦对应的三角函数，参数 x 则以弧度为单位。这一复数指数函数有时还写作 cis x （英语：cosine plus i sine，余弦加i 乘以正弦）。由于该公式在 x 为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为欧拉公式。

欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。

当 x=π 时，欧拉公式变为 e^(i π)+1=0，即欧拉恒等式。

在复分析的应用

这公式可以说明当 x 为实数时，函数 e^(ix) 可在复数平面描述一单位圆。且 x 为此平面上一条连至原点的线与正实轴的交角。先前一个在复平面的复点只能用笛卡尔坐标系描述，欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换

任何复数 z=x+yi 皆可记为 z=x+iy=|z|(cos φ +isin φ)=|z|e^(iφ)

z=x-iy=|z|(cos φ -isin φ)=|z|e^(-iφ)

在此 （公式略） 为实部 （公式略） 为虚部 （公式略） 为 z 的模 φ =atan2 (y,x)，其中 （公式略）

历史

约翰·伯努利注意到有 （公式略）

并且由于 ∫ dx/(1+ax)=1/aln(1+ax)+C,

上述公式通过把自然对数和复数（虚数）联系起来，告诉我们关于复对数的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程，伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时，罗杰·柯特斯于 1714 年发现 ix=ln(cos x+isin x).

由于三角函数的周期性，一个复数可以加上 2iπ 的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。

1740年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到（其实此证法存在问题，原因见验证方法，但结论正确。），于1748年发表。

大约50年之后，卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数视做复平面中的点。

形式

对于任意实数 x，以下等式恒成立： e^(ix)=cos x+isin x

由此也可以推导出 （公式略） 及 （公式略）。

当 x=π 时，欧拉公式的特殊形式为 e^(i π)+1=0。

证明

首先，在复数域上对 e^(x) 进行定义：

对于 a,b∈ R,c=a+ib∈ C，规定 e^(c)=lim _(n→ ∞)(1+c/n)ⁿ。

对复数的极坐标表示 w=u+iv=r(cos θ +isin θ)，有： （公式略）

且根据棣莫弗公式， wⁿ=(u+iv)ⁿ=rⁿ(cos nθ +isin nθ)

从而有： (1+(a+bi)/n)ⁿ=[(1+a/n)+ib/n]ⁿ=rₙ(cos θ ₙ+isin θ ₙ)

• 假设 n>|a|，则： （公式略）
• （由于包含n在幂，所以要ln）从而有： （公式略）
• 这一步骤用到 ln(1+x)≈ x （墨卡托级数）

即： lim _(n→ ∞)rₙ=lim _(n→ ∞)e^(l)n rₙ=e^(a)

又有(arctan x 约等于x 于0附近）： （公式略）

从而可以证明： lim _(n→ ∞)(1+(a+bi)/n)ⁿ=e^(a)(cos b+isin b)

即： e^(a+ib)=e^(a)(cos b+isin b)

令 a=0，可得欧拉公式。

证毕。

验证方法

方法一：泰勒级数

把函数 e^(x)、 cos x 和 sin x 写成泰勒级数形式： （公式略）

• cos （公式略）
• sin （公式略）
• 将 x=iz 代入 e^(x) 可得： （公式略）
• 方法二：求导法
• 对于所有 x∈ I，定义函数 （公式略）
• 由于 e^(ix)· e^(-ix)=e⁰=1

可知 e^(ix) 不可能为0，因此以上定义成立。 f(x) 之导数为： （公式略）

设 [a,b]∈ I 和 c∈ (a,b)

f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a). （拉格朗日中值定理） （公式略）

• ∴ （公式略）
• f(a)=f(b)
• 因此 f(x) 必是常数函数。 f(x)=f(0)
• （公式略）
• cos （公式略）
• 重新整理，即可得到： e^(ix)=cos x+isin x
• 方法三：微积分

找出一个原函数 y(x)，使得 dy/dx=iy 及 y(0)=1。

假设 y(x)=e^(ix)，有： d/dxe^(ix)=ie^(ix)=iy

假设 y(x)=isin x+cos x，有： （公式略）

使用积分法，可得 iy 的原函数是以上两个函数分别与任意实数的和，分别记为： y₁(x)=e^(ix)+C₁

y₂(x)=cos x+isin x+C₂

其中， C ₁ 和: C ₂ 是任意实数。

又 x=0 时， y(0)=1，观察到： y₁(0)=eⁱ⁰+C₁=e⁰+C₁=1+C₁

y₂(0)=cos 0+isin 0+C₂=1+i(0)+C₂=1+C₂

所以 C₁=C₂=0，可以得出： （公式略）

cis函数

在复分析领域，欧拉公式亦可以以函数的形式表示 cis θ =cos θ +isin θ

cis cis θ =e^(iθ)

并且一般定义域为 θ ∈ R，值域为 θ ∈ C （复平面上的所有单位向量）。

当一复数的模为1，其反函数就是辐角（arg函数）。

当 θ 值为复数时，cis函数仍然是有效的，所以有些人可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。

检验和角公式

由于 e^(iα)=cos α +isin α 且 e^(iβ)=cos β +isin β，则有 （公式略）

实部等于实部，虚部等于虚部，因此 cos(α +β)=cos α cos β -sin α sin β

sin sin(α +β)=sin α cos β +cos α sin β