维诺格拉多夫定理

维诺格拉多夫定理的完整叙述给出了奇数可以表示成3个质数之和的方式数的渐近界；此外维诺格拉多夫原始证明的“充分大”本身并无明确定义，而2002年证明了 10¹³⁴⁶ 是一个“充分大”的数字。此外透过地毯式搜寻，当时已知对所有大到 10²⁰ 的数字弱哥德巴赫猜想都成立，因此只须对有限多个数字进行检查以证明或否证弱哥德巴赫猜想；而在2013年，哈拉尔德·黑尔夫戈特宣称自己证明了弱哥德巴赫猜想对任意大于5的数字都成立。

维诺格拉多夫定理的叙述

• 设A是一个正实数，那么有 （公式略）
• 其中 r(N)=∑ ₖ₁+k₂+k₃=NΛ (k₁)Λ (k₂)Λ (k₃),
• 此处的 Λ 是冯·曼戈尔特函数，而 G(N) 的定义如下： （公式略）

结果

若N是奇数，那么 G(N) 的值大约为1，因此对于任何充分大的N而言，有 （公式略）。借由证明说幂大于一的质数次方对 r(N) 的贡献大约为 （公式略），可证明以下公式： （公式略）

其中 P(N) 指的是N可表示成三个质数之和的方式数。

而这特别地表示说对于任意大于某个充分大数字的奇整数可以表成三个质数之和，也因此证明了弱哥德巴赫猜想至多可能有有限多个反例。

证明策略

这定理的证明使用了哈代-李特尔伍德圆法。首先定义指数和如次： S(α)=∑ ₙ₌₁^(N)Λ (n)e(α n)

此种情况下，有等式如次： S(α)³=∑ ₙ₁,n₂,n₃≤ NΛ (n₁)Λ (n₂)Λ (n₃)e(α (n₁+n₂+n₃))=∑ _(n≤ 3N)r(n)e(α n),

其中 r 表示了小于等于 N 的质数幂的表示数。因此有 r(N)=∫ ₀¹S(α)³e(-α N) dα

若 α 是一个形如 p/q 的有理数（其中p跟q是整数），那么 S(α) 可由质数在模 q 的同余类上的分布给出。因此利用Siegel–Walfisz定理可计算出上述积分在有着小分母的有理点的小邻域上的贡献。一般把靠近上述有理点的实数集合给称为优弧，而将其互补形式给称为劣弧。由于上述区间主导整个积分之故，因此要证明此定理，就得算出取值为在劣弧中的 α 时， S(α) 的上限。而这估计是整个证明最困难的部分。

若假定广义黎曼猜想，那对于优弧的论证可直接用于劣弧上，而这是哈代与李特尔伍德在1923年所证明的部分；而维诺格拉多夫在1937年给出了 |S(α)| 的无条件上界，他的论证始于简单的筛法等式，而他对其中的项进行重排以将部分项相消。

在1977年R. C. Vaughan发现了远远更简单的论证，而他的论证基于后来称为Vaughan等式的公式。Vaughan证明了说在 （公式略） 成立的情况下，有以下渐进式： （公式略）

利用Siegel–Walfisz定理，可处理大到 log N 的任意幂次的 q；此外用狄利克雷逼近定理，可得对于劣弧而言，有 （公式略）。因此可得这积分在劣弧上的上界如次： （公式略）

而这给出了这定理的误差项。