介值定理

假设 f:[a,b]→ R 为一连续函数。若一实数 u 满足 (f(a)-u)(f(b)-u)≤ 0，则存在一实数 c∈ [a,b] 使得 f(c)=u。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在这个证明中，他附带证明了波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理。

定理

证明

先证明第一种情况 f(a)<u<f(b)；第二种情况也类似。 （公式略）

设 （公式略）。由 a∈ S 可知 S 非空。由于 S 具有上界 b，故由实数的完备性知 S 有最小上界 （公式略）。我们以反证法证明 f(c)=u。

首先假设 f(c)>u。由于 f 连续，我们能找到正实数 δ 使得 |f(x)-f(c)|<f(c)-u 对所有 x∈ (c-δ,c+δ) 均成立。由于 （公式略），故存在满足 c-δ <y≤ c 的 y∈ S；此时 |y-c|<δ，故 f(y)-f(c)>-(f(c)-u)，即 f(y)>u，与 y∈ S 矛盾。故原假设 f(c)>u 不成立。

接着假设 f(c)<u。由于 f 连续，我们能找到正实数 δ 使得 |f(x)-f(c)|<u-f(c) 对所有 x∈ (c-δ,c+δ) 均成立。设 y=c+(δ)/N,当中 N>(δ)/(b-c)+1。因此 y<b。因为 N>1，故 y<c+δ；此时 f(y)-f(c)<u-f(c)，即 f(y)<u，故 y∈ S。这会导致 c 不是 S 的上界，矛盾。故原假设 f(c)<u 不成立。

因此 f(c)=u。

与实数完备性的关系

此定理仰赖于实数完备性，它对有理数不成立。例如函数 f(x)=x²-2 满足 f(0)=-2,f(2)=2，但不存在满足 f(x)=0 的有理数 x。

零点定理（波尔查诺定理）

零点定理，也称零值定理，是介值定理的一种特殊情况－如果曲线上两点的值正负号相反，其间必定存在一个根：

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f(a)· f(b)<0，则必存在 ξ ∈ (a,b) 使 f(ξ)=0 成立。由于零点定理可用来找一方程式的根，也称为勘根定理。伯纳德·波尔查诺于1817年证明了这个定理，同时证明了这个定理的一般情况（即介值定理）。以现代的标准来说，他的证明并不算是非常严格。

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对跖点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。