狄利克雷定理

定理内容

狄利克雷定理表明：

若 r,N 互质，则 lim _(x→ ∞)(π (x;N,r))/(π (x))=1/(φ (N))

其中， φ (N) 为欧拉函数， π (x) 为质数计数函数， π (x;N,r) 为模 N 同余 r 集合中小于 x 的质数个数。

质数在同余类中的分布

狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。

形象地说，在模 N 同余类中，除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合，质数的分布是大致均匀的。

以 N=6 为例：共有 [0],[1],[2],[3],[4],[5] 共 6 个模 N 同余集合，其中同余集合 [0],[2],[3],[4] 不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合 [1],[5] 中：

在不大于 10,000 的质数中，质数在 [1],[5] 中的比率分别为 （公式略） 和 （公式略）；

在不大于 100,000 的质数中，质数在 [1],[5] 中的比率分别为 （公式略） 和 （公式略）；

在不大于 1,000,000 的质数中，质数在 [1],[5] 中的比率分别为 （公式略） 和 （公式略）。

以 N=8 为例：共有 [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7] 共 8 个模 N 同余集合，其中同余集合 [0],[2],[4],[6] 不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合 [1],[3],[5],[7] 中：

不大于 10,000 的质数中，质数在 [1],[3],[5],[7] 中的比率分别为 （公式略） 和 （公式略）；

在不大于 100,000 的质数中，质数在 [1],[3],[5],[7] 中的比率分别为 （公式略） 和 （公式略）；

在不大于 1,000,000 的质数中，质数在 [1],[3],[5],[7] 中的比率分别为 （公式略） 和 （公式略）；

相关定理

欧几里得证明了有无限个质数，即有无限多个质数的形式如 2n+1。

算术级数的质数定理：若 a,d 互质，则有 （公式略）。

其中φ是欧拉函数。取 d=2，可得一般的质数定理。

林尼克定理说明了级数中最小的质数的范围：算术级数 a+nd 中最小的质数少于 cd^(L)，其中 L 和 c 均为常数，但这两个常数的最小值尚未找到。

柴伯塔瑞夫密度定理是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。

历史

欧拉曾以 ∑ 1/p=∞，来证明质数有无限个。约翰·彼得·狄利克雷得以灵感，借助证明 （公式略） 来证明算术级数中有无限个质数。这个定理的证明中引入了狄利克雷L函数，应用了一些解析数学的技巧，是解析数论的重要里程碑。

推广

这个定理的一些推广形式，但是都还只是未被证明的猜想而已，并不是定理。

• 布尼亚科夫斯基猜想，推广至>=2次的多项式
• 狄克森猜想，推广至>=2个多项式
• 欣策尔假设H，上述两个推广合并