欧几里得-欧拉定理

定理叙述

一个偶数是完全数（即等于它的所有真因数的和），当且仅当它有形式 2^(p-1)Mₚ，其中 Mₚ 是梅森质数，即形为 Mₚ=2^(p)-1 的质数。

历史

欧几里得证明当 2^(p)-1 是质数时， 2^(p-1)(2^(p)-1) 是完全数（Prop. IX.36）。这是他的《几何原本》中数论的最后一条结果。

过了超过一千年后，约在公元1000年，海什木猜想所有偶完全数都有形式 2^(p-1)(2^(p)-1)，但他未能证明。

直至18世纪，数学家欧拉始证明所有偶完全数都有形式 2^(p-1)(2^(p)-1)。因此确定偶完全数和梅森质数之间存在一一对应：每个偶完全数给出一个梅森质数，反之亦然。

证明

欧拉的证明简短，用到因数总和函数 σ 是积性函数的性质：对任何两个互质正整数 a 和 b，都有 σ ₁(ab)=σ ₁(a)σ ₁(b)。要使这个公式成立，一个数的正因数总和须包括该数本身，不只是真因数。一个数是完全数，当且仅当该数的正因数总和是该数的两倍。

定理中一个方向（欧几里得所证明的）较为容易：如果 2^(p)-1 是质数，那么 σ ₁(2^(p-1)(2^(p)-1))

= =σ ₁(2^(p-1))σ ₁(2^(p)-1)

= =(2⁰+2¹+2²+⋯ +2^(p-1))((2^(p)-1)⁰+(2^(p)-1)¹)

• = =(1+2+4+⋯ +2^(p-1))(1+(2^(p)-1))
• = =(2^(p)-1)2^(p)
• = =2(2^(p-1)(2^(p)-1))
• 至于另一个方向，设有偶完全数2kx，其中x是奇数。它是完全数，故此

2k + 1x = σ(2kx) = (2k + 1 − 1)σ(x).

上式右边的奇因数2k + 1 − 1 至少等于3，且必定整除或等于左边唯一的奇因数x，因此y = x/(2k + 1 − 1) 是x的真因数。将上式两边除以公因数2k + 1 − 1，并考虑x已知有因数x和y，得出

2k + 1y = σ(x) = x + y + 其他各因数 = 2k + 1y + 其他各因数.

要使等式成立，必须无其他因数，因此y必定等于1，x必定是形为2k + 1 − 1的质数。定理得证。